¿Cómo simplificar esta igualdad (factoriales)?

Question

Esto fue en uno de los ejemplos del libro de texto, pero no pude averiguar cómo lo solucionaron. Dicen que se multiplica el lado izquierdo por $\frac{n!}{n!}$ a la derecha:

$ \frac{2^n \cdot (2n-3)!} {n}! ¡= 2\frac{(2n-2)!} {n! (n-1)!} $$

El doble factorial es el producto de todos números enteros impares del 1 al 2 $n$-3.

He dado este problema mucho tiempo, y yo soy todo de ideas en este punto.

Answer 1

Observe % $ $$2^n n! = 2(n) \cdot 2(n-1) \cdot 2(n-2) \cdots 2(2) \cdot 2(1) = (2n)(2n-2) \cdots (4)(2)$

es el producto de todos números enteros incluso entre $1$y $2n$. Así que cuando se multiplican el numerador y el denominador por $n!$ termina con

$$\dfrac{2n(2n-2)!}{n!n!}$$

desde los términos incluso entre $1$ y $2n-2$ intercale entre los términos impares.

Cancelar el pícaro $n$ en el numerador da el resultado que buscas.

Answer 2

Todo lo que necesitas es: $$ K: = 2 ^ {n-1}(n-1)! =(2\cdot 1) \cdot (2\cdot 2) \cdot (2\cdot 3) \cdots (2\cdot(n-1)) = 2\cdot 4\cdots (2n-2). $$ Esto da $K$ el producto de todos números enteros incluso entre $1$y $2n-2$. Por lo tanto: $$(2n-2)!/K=(2n-3)!!$ $ y esta por su lado izquierdo se convierte en su lado derecho.