Asociadas números primos de una suma de módulos

Question

Que $M$ ser un módulo y submódulos de $M_1$ $M_2$ tales que su suma (no necesariamente es una suma directa) $M$. ¿Es verdad en plena generalidad que $\text{Ass}(M) = \text{Ass}(M_1) \cup \text{Ass}(M_2)$? Si lo prueban, si no, dar un contraejemplo.

Creo que la declaración es falsa. El hecho de que $\text{Ass}(M_i) \subset M$ es evidente, y se sostiene para una suma directa, sin embargo esperaba alguien podría aclarar con un ejemplo contrario. Gracias es avance.

Answer 1

$\newcommand\ass{\operatorname{Ass}}$ Muestran que cada vez que tienes un corto exacta secuencia $$0\to M\to N\to P\to0$$ then $$\ass M\subseteq\ass N\subseteq\ass M\cup\ass P.$$ Then what you want follows from the existence of the two obvious exact sequences $$0\to M_1\to M_1\oplus M_2\to M_2\to0$$ and $% $ $0\to M_2\to M_1\oplus M_2\to M_1\to0$