¿Por qué le importaría a uno los paquetes de fibra

Question

Como estudiante de física puedo entender fácilmente la motivación para estudiar los múltiples y por qué la definición se ve como lo hace, sólo tengo que pensar en el espacio Minkowski en GR. Pero por mi vida la noción de un haz de fibras parece muy poco motivada. ¿Por qué querríamos hablar de los múltiples de esta manera tan extraña? ¿Por qué estamos saltando a través de aros y escaleras para hablar de un colector localmente como un espacio producto de dos cosas?

Answer 1

Cuando se construye o se define un objeto matemático, hay que encontrar un cierto equilibrio: Hay que conseguir que el objeto sea lo suficientemente general como para tener muchas aplicaciones, pero lo suficientemente estructurado como para poder responder a preguntas importantes. Los haces de fibras son muy generales (en el sentido de que muchos espacios pueden verse como haces de fibras) y muy estructurados (en el sentido de que se obtiene mucha información sobre los mapas hacia y desde un espacio que se descompone como un haz de fibras).

Como estudiante de física que ha estudiado algo de RG, puede entender la importancia de las coordenadas locales. Los haces de fibras proporcionan otro tipo de imagen local, descomponiendo tu espacio en subconjuntos que poseen una cierta simetría. Y lo que es más importante, quizás te dan una idea de cómo estas piezas locales se unen a una estructura global. Para los físicos, los haces vectoriales (como el haz tangente) son una fuente especialmente rica de haces de fibras útiles. Los físicos se preocupan mucho por las "conexiones" en los haces, que son formas de comparar puntos en fibras cercanas. Por ejemplo, las conexiones permiten entender el transporte paralelo en la RG. Además, gran parte de la mecánica clásica puede formularse utilizando el lenguaje de los haces vectoriales.

Cuando pasé de la física a las matemáticas, tardé en darme cuenta de que las variedades no son simplemente espacios en los que hay que imaginar que vive alguna criatura. A menudo representan algún adicional estructura en otro espacio, como el espacio de las "direcciones" en un colector (es decir, el haz tangente) o un espacio cuyos elementos son bucles en un colector.

Answer 2

Porque entonces no tenemos que preocuparnos por la naturaleza del espacio ambiente; es decir, no es necesario que el colector esté incrustado en un espacio de mayor dimensión para que podamos hablar de él.