Conjunto denso en el círculo unitario - referencia necesaria

Question

Para $x \notin \pi\mathbb Q$ es decir, un verdadero $x$ que no es un múltiplo racional de $\pi$ , considere el conjunto $$\{(\cos nx,\sin nx):n = 0,1,2,...\}.$$ Se sabe que este conjunto es denso en el círculo unitario $B(0,1)$ de $\mathbb R^2$ . ¿Podría alguien darme una prueba o una referencia de una prueba?

Answer 1

Desde $x\notin \pi{\mathbb Q}$ se deduce que $e^{ikx}\ne1$ para todos $k\in{\mathbb Z}\setminus\{0\}$ y esto implica que los números $e^{inx}\in S^1$ $(n\geq0)$ son todos diferentes. Supongamos que un punto $\zeta\in S^1$ y un $\epsilon>0$ se da. Dado que $S^1$ tiene una longitud finita podemos entonces encontrar dos números $n_1<n_2$ con $|e^{in_2x}-e^{in_1 x}|< \epsilon$ . Poner $n':=n_2-n_1$ . Entonces $$\bigl|e^{in'x} -1\bigr|=|e^{in_2x}-e^{in_1 x}|<\epsilon\ .$$ Poner $n_k:=k\>n'$ $(k\geq0)$ . Entonces los puntos sucesivos $e^{i n_k x}\in S^1$ $(k\geq0)$ tienen una distancia $<\epsilon$ . De ello se desprende que existe una $k\geq0$ con $|e^{in_k x}-\zeta|<\epsilon$ .

Answer 2

Como he apuntado en los comentarios muchos libros de Sistemas Dinámicos tendrán una prueba. Creo que el libro de Robert L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems lo hace, pero no tengo acceso a él ahora mismo para confirmarlo. La prueba que adjunto a continuación (y que recuerdo haber visto antes, quizás en otros libros) es de Introducción a los sistemas dinámicos por Michael Brin, Garrett Stuck (enlace a la primera edición en Amazon, aunque sé que hay ediciones más recientes).

Hay enlaces a este libro en línea, en particular hay una muestra del primer capítulo en un Página web de la Biblioteca del Congreso (por lo que asumo que es legal y más o menos permanente). Véase la sección 1.2, Rotación de círculos, p.3-4. Para que esta respuesta sea autocontenida, adjunto la prueba del libro de Brin/Stuck (con algunos retoques, omitiendo el subíndice $\alpha$ y una cierta desigualdad, y comentarios).

Para $\alpha\in\mathbb R$ , dejemos que $R$ sea la rotación de el círculo $S^1$ por ángulo $2\pi\alpha$ .

Si $\alpha=\frac pq$ es racional, entonces $R^q=Id$ , por lo que cada órbita es periódica. Por otro lado Por otro lado, si $\alpha$ es irracional, entonces todo semiorbital positivo es denso en $S^1$ . En efecto, el principio del encasillamiento implica que, para cualquier $\varepsilon>0$ Hay $m,n$ tal que $m<n$ y $d(R^m,R^n)<\varepsilon$ . Así, $R^{n-m}$ es la rotación en un ángulo menor que $\varepsilon$ por lo que todo semiorbito positivo es $\varepsilon$ -denso en $S^1$ (es decir, se acerca a distancia $\varepsilon$ de cada punto de $S^1$ ). Dado que $\varepsilon$ es arbitraria, todo semiorbito positivo es denso.

Comentario. Para aplicar el principio de la colombofilia, se puede representar el círculo como la unión de un número finito de arcos cerrados, cada uno de ellos de longitud inferior a $\varepsilon$ . Entonces (para cualquier $x$ ) colocamos un número infinito de $R^n(x)$ , $n\ge0$ en un número finito de arcos, por lo que al menos un arco debe contener tanto $R^n(x)$ y $R^m(x)$ para algunos $n\not=m$ .
Más precisamente el libro dice " para cualquier $\varepsilon>0$ Hay $m,n<\frac1\varepsilon$ tal que $m<n$ ", etc, pero no veo por qué esta desigualdad sería relevante (primero pensé que era una errata y que debería ser $m,n>\frac1\varepsilon$ lo que equivale a $\frac1m,\frac1n<\varepsilon$ e implica $|\frac1m-\frac1n|<\varepsilon$ ), aunque puede tener algo que ver con un intento de encontrar $n,m$ que funcionan, con $n>m$ y lo más pequeño posible $n-m$ . O puede tener algo que ver con la otra representación de la rotación (como se indica en la misma página), ya que la suma $\mod1$ en $[0,1]$ con $0\sim1$ .

Hay que tener en cuenta en la prueba anterior que para los irracionales $\alpha$ (es decir, cuando el ángulo de rotación $2\pi\alpha$ es un múltiplo irracional de $\pi$ ), entonces $R^n$ nunca es la identidad, ya que $n\ge1$ . De hecho, si $R^n=Id$ entonces $n2\pi\alpha=2\pi k$ para algún número entero $k$ Por lo tanto $\alpha=\frac kn$ sería racional.

Editar. La prueba está disponible en el libro de Devaney también, por ejemplo, en la segunda edición es el Ejemplo 3.12 y el Teorema 3.13 (referido como Teorema de Jacobi allí) en la p.22-23. Considera la órbita delantera de un punto y utiliza que cualquier conjunto infinito (en particular la órbita delantera) debe tener un punto límite (y por lo tanto, en la notación de la presente respuesta, $d(R^m,R^n)$ puede hacerse arbitrariamente pequeño, no nulo, para un $m,n$ ).

Answer 3

Supongamos que $[a,b] \subset [0,1]$ . Desde $T\theta$ es ergódica, $$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \chi_{[a,b)}(T_\theta ^n (t))=b-a $$

Answer 4

Puedes demostrar que todo número racional que no sea 1/2 proviene de un ángulo irracional.

1. a = cos(pi d/z) + i sin(pi d/z) resuelve alguna ecuación de la forma a^z + 1 = 0

2. Demostrar que a nunca puede ser un racional, suponiendo que donde

   $$a^n = \sum^{z-1}_{e=0} x_i a^e$$

que si a fuera una fracción p/q, multiplicada por p^n, entonces el LHS no es un múltiplo de q, y el RHS sí, a menos que q=1.

Por lo tanto, la ecuación a nunca puede ser racional a menos que sea medio entero, lo que significa que los números racionales surgen de ángulos irracionales.

Como los números racionales son densos en el círculo, los ángulos irracionales también lo son.