Sé que la "mano ondulado" definición de la $\delta (x)$ función es $$ \delta(x) = \begin{cases} \infty &\quad\ x=0 \\ 0 &\quad\text{otherwise} \end{casos} $$
y la más rigurosa definición es que es el límite de una secuencia de funciones de $f_n$ que $f_n(x) \rightarrow 0$ todos los $x \neq 0$, e $f_n \rightarrow \infty$$x=0$, y (editado para añadir) $\int f_n = 1$ todos los $n$. Desde este punto de vista, puedo ver por qué la integral debe ser uno, porque la integral de todas las $f_n$ es igual a $1$.
Ahora, supongamos que queremos construir una función $f(x,y)$ en el avión para que
$$ \nabla ^2f(x,y) = \begin{cases} a &\quad\ (x,y) \in D \\ 0 &\quad\text{otherwise} \end{casos} $$ donde $D$ es que algunos simplemente conectado región.
Definitivamente puedo solucionar $\nabla ^2f(x,y) = \delta(\|(x,y) - (x_0,y_0)\|)$ para cualquier punto de $(x_0,y_0)$. Esto es hecho mediante el uso de la solución fundamental a $$f(x,y) = \frac{-1}{2\pi} \ln\left( \|(x,y)-(x_0,y_0)\|\right)$$
Mi pregunta es si puedo hacer lo siguiente:
Porque quiero que el Laplaciano de $f$, como se describió anteriormente, se puede escribir
$$ f(x,y) = a \int_D \frac{-1}{2\pi} \ln\left( \|(x,y)-(x_0,y_0)\|\right) \,dA \quad ?$$
donde $dA$ se refiere a la integración con respecto a la $(x_0,y_0)$ sobre el área de $D$.
Mi confusión viene del hecho de que: El Laplaciano de $f$ será el Laplaciano de una suma de (infinitamente) muchos de los $\delta$ funciones, por lo que la intuición me dice que debería ser infinito; por otro lado, la integración de un $\delta$ función le $1$, por lo que el factor de $a$ frente a la integral debe dar el resultado deseado, no?
