Encontrar todos los números enteros $x$, $y$ y $z$ tal que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$

Question

Caracterizar todos los enteros positivos $x$, $y$ y $z$ tal que:

$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z}$$

Por ejemplo, $\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x}$.

Answer 1

Las soluciones están parametrizados por $$x = p^2+pq, y= q^2+pq, z = pq$$ donde $p,q$ son arbitrarios con los números enteros, elegido de manera que $x,y,z$ son todos diferente de cero.

La razón de esto es que el $1/x + 1/y = 1/z$ describe una curva proyectiva en 2 dimensiones proyectivas espacio de ${\mathbf P}^2$, dada por la ecuación homogénea $$(1) \quad y z + x z - x y = 0$$

La ecuación es de grado $2$, por lo que cada línea de $l$ intersecta en dos puntos de $P_l$$Q_l$. Manteniendo $P=P_l$ fijo y racional de las coordenadas, los puntos de $Q_l$ son también racionales coordenadas al $l$ es una línea racional de la pendiente. Además, todos los racionales punto de $Q$ define racional de la línea de $l$$Q = Q_l$. Así las líneas de $l$ a través de $P$ con rational pendiente trazar los puntos racionales de $C$, llama $C({\mathbb Q})$. Como la curva de $C$ es proyectiva tenemos $C({\mathbb Z}) = C({\mathbb Q})$. Así, el racional y el entero de las soluciones de (1) son idénticos después de la multiplicación de distancia denominadores.

Ahora tome como punto de $P=(0,0,1)$ y hacer el cálculo expresamente en el afín parche $z=1$ donde: (1) se convierte en $y+x-xy = 0$. Hacer el ansatz $x=w,y=p/q \,w$ y resolviendo $w$ encontramos las soluciones $0, (p+q)/p$. Por lo $x=(p+q)/p$ $y=(p+q)/q$ son las soluciones racionales de la ecuación afín. Llevando esto a un común denominador $pq$ recibimos la solución homogénea desde el principio.

Answer 2

${1\over x}+{1\over y}={1\over z}$ Si y sólo si tiene la forma

$${1\over a(a+b)d}+{1\over b(a+b)d}={1\over abd}\quad\text{with}\quad \gcd(a,b)=1$$

(todas las variables como enteros positivos).

La parte "si" es trivial verificar. La parte "sólo si" viene un ajuste $x=ga$ y $y=gb$ $g=\gcd(x,y)$, que da

$${1\over x}+{1\over y}={a+b\over gab}$$

y teniendo en cuenta que $a+b$ es relativamente alto a $a$ y $b$.

Answer 3

Una idea: tienes

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}$$

Esto implica que el $x+y | xy$

Answer 4

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$ entonces tenemos que encontrar $(x,y)\in \mathbb N^{2}$ tal que $x+y|xy$ y $k(x+y)=xy$ si y sólo si $x=\frac{ky}{y-k}$ y $k<y$ y $y-k|ky$, entonces fija y usted puede encontrar una solución elegir $y-k$ como un divisor de y. (nota que si y es primo no tenemos solución)

Answer 5

Para la ecuación.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$$

La forma más fácil es a factor de la Plaza.

$$p^2=ks$$

Luego se pueden grabar las decisiones.

$$x=p$$

$$y=s-p$$

$$z=p-k$$

La más General caso fórmula allí. Número de solución $xy +yz + zx = N$