¿Para qué valores de m convergen $$\sum \limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln{k})^m}$ $? ¿$$\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln(\ln{k}))^m}$ $ O, más generalmente, $$\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln(\cdots (\ln{k}))\cdots)^m}$ $?
Respuestas
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Para su primera serie
Deje $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ $$\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^\alpha \ln(k)^\beta} $$ es convergente iif $(\alpha>1)$ o $(\alpha=1, \ \beta>1)$
Así que en tu caso no es convergente. Como
$$\frac{\sqrt{k}}{\ln(k)^\beta} \rightarrow \infty$$ we can find $k_0$ such that for all $k \geq k_0$ $$ \frac{\sqrt{k}}{\ln(k)^\beta} > 1 $$ que los rendimientos de $$ \frac{1}{\ln(k)^\beta} > \frac{1}{\sqrt{k}} $$ La mano derecha detrás de divergente, la serie es divergente. Estas series son llamados Bertrand de la serie. Ver aquí para pruebas.
En cuanto a la segunda de la serie, sólo tiene que repetir el mismo argumento. Tome $\ln(k) > k_0$ obtendrá $$ \frac{1}{\ln(\ln(k))^\beta} > \frac{1}{\sqrt{\ln(k)}} $$ El lado derecho fue justo demostrado ser divergentes. Repita el proceso para su versión generalizada.
Editar: Tienes que ser cuidadoso sobre el número entero que va a empezar la serie. Para su primera serie es obvisouly $k=2$ porque $\ln(1)=0$ que produce una división por cero. Para la segunda serie de la división por cero se produce en $e$ $\ln(\ln(k))$ no está definida para $k=1$ así que empieza a $k=3=\lfloor e \rfloor+1$. Para usted generalizada de la serie acaba de empezar en $k=\lfloor e^{e^{\cdots^e}} \rfloor +1$
Davide Giraudo
Puntos
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Para la primera serie,se puede utilizar de Cauchy condensación de criterio al $p>0$ (al $p\leq 0$ la serie es divergente):
Si $\{a_n\}$ es una disminución de la secuencia de números positivos, la serie de $\sum_ka_k$ es convergente si y sólo si $\sum_k2^ka_{2^k}$ es convergente.
Contamos con $a_k=\frac 1{(\ln k)^m}$ que $2^ka_k=\frac{2^k}{k^m(\ln 2)^m}$ y se aparta.
Una forma alternativa es tener en cuenta que el $\ln k\leq k^{1/m}$ $m$ lo suficientemente grande (que dependen de las $m$), y el uso de la divergencia de la serie armónica.
Tenemos para $x\geq 1$ que $\log x\leq x$. Denotar $f_N$ $N$- ésima iteración del logaritmo. Para una fija $N$, podemos encontrar $n(N)$ tal que para $k\geq n(N)$, $f_{N-1}(k)\geq 1$. Por lo tanto $f_N(k)\leq \log k$ $k$ lo suficientemente grande, lo que demuestra que la serie es divergente para todos los $m$ y todos los $N$.
El problema aquí es que el logaritmo crece muy lentamente. Tomando recorre en no hacer la cosa mejor, y el exponente no cambia nada.
