¿Cuál es la forma correcta de trazar la correlación y la autocorrelación?

Question

Estoy tratando de trazar la correlación automática y cruzada del flujo de bits que se obtiene de un sistema dinámico no lineal.
El gráfico es la autocorrelación y la correlación cruzada para el flujo de bits obtenido del mismo sistema dianámico no lineal.

No estoy seguro de cómo interpretar el gráfico. Si el programa es incorrecto o no. Quería obtener el gráfico de rezagos vs ACF pero lo que obtuve es diferente al gráfico real dado en un libro. Por favor, ayuda.

A = .5;  B = 1.99;  phin = .5;  xphi(1) = A - (B*phin);

for it = 2:1:5000    
 xphi(it) = A - (B*abs(xphi(it-1)));    
end
phi = 2*(xphi>=0.5)-1; 
A = .51;  B = 1.90;  phin = .5;  xphit(1) = A - (B*phin);

for it = 2:1:5000   
 xphit(it) = A - (B*abs(xphit(it-1)));    
end
phit = 2*(xphit>=0.5)-1; 

CST = xcorr(phit,phi);
AST = xcorr(phi,phi);

Time = 0;
for nn = 2:1:length(CST)
Time(nn) = Time(nn-1) + 1; 
end

plot(Time,AST,'r',Time,CST,'g');       title('\bf AUTO & CROSS correlation');    
xlabel('\bf Time');    ylabel('\bf Auto & Cross correlation'); legend('red-AC','green-CC');

La trama debe parecerse a

donde la figura de arriba es la correlación cruzada y la de abajo la autocorrelación

Answer 1

tl;dr: Su eje temporal es erróneo y los valores de correlación podrían reescalarse.

Eje de tiempo

La correlación cruzada de dos señales continuas $F$ y $G$ es $$(F \star G)(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} F^*(t)G(t+\tau)dt$$ En otras palabras, es el producto punto entre $F$ (o su conjugado complejo $F^*$ para señales de valor complejo) y una versión de $G$ que se ha desplazado hacia delante y hacia atrás. (Es muy parecido a la convolución, salvo que en el caso de la convolución, uno de ellos también se invierte: $t+\tau$ se convierte en $t-\tau$ para la convolución).

Esto implica que su gráfico de correlación cruzada tiene el cero en su centro, en lugar de en un borde. Usted mismo construyó el eje de tiempo, así que podría cambiar el código para poner 0 en el centro, -1 y +1 a cada lado, etc. Matlab también hace esto por usted como el segundo argumento de xcorr ( docs ):

[CST, lags] = xcorr(phit, phi); plot(lags, CST); title('Cross-correlation'); [AST, langs] = xcorr(phi, phi); plot(lags, AST); title('Autocorrelation');

Reescalado

La fórmula anterior asume que tus señales son infinitas, pero tus datos reales probablemente no lo son. Al "empujar" una matriz más allá de la otra, se convierten en longitudes diferentes y ya no se pueden comparar. Un método es desplazar una matriz circularmente (es decir, G(1) se convierte en G(2), G(2) se convierte en G(3), ...., G(N-1) se convierte en G(N), y G(N) se convierte en G(1)).

Matlab no hace eso. En su lugar, los rellena con ceros (en realidad hace el cálculo en el dominio de la frecuencia, y la llamada fft hace el relleno). Si su señal tiene una media distinta de cero, se convierte en un pequeño "paso" de forma extraña en medio de ceros. La convolución o correlación cruzada de los dos escalones produce esa extraña forma triangular. Hay algunas formas de tratarla:

1. Estandarizar la señal para que tenga media cero y varianza unitaria ayuda
2. También se puede obtener una estimación insesgada de la correlación cruzada reescalando $R(\tau)$ por $\frac{1}{N-|\tau|}$ . Matlab hace esto si se añade una tercera opción a la llamada de la función xcorr(F,G,'unbiased') (también hay otras opciones de normalización).

Por cierto, tal vez quieras jugar con un par de "señales" menos patológicas para practicar y poder ver a ojo cuál debería ser el resultado.