¿Las secuencias son Cauchy dependiendo de la norma?

Question

Suponga que tenemos dos % de espacios de Banach $B_1, B_2$con su conjunto subyacente es idéntico. ¿Es posible que una secuencia de Cauchy en uno de los espacios no ser Cauchy en el otro? Estoy suponiendo que es posible puesto que la prueba de Cauchy depende directamente de la norma. Sin embargo, esto parece algo antinatural, alguien por favor aclare.

Answer 1

Aquí están algunos detalles para agregar a Jonas respuesta en el enlace de mi comentario anterior.

Deje $V$ ser un espacio vectorial de Hamel dimensión $c$. Deje $T$ ser lineal bijection de $V$ $\ell_1$y deje $S$ ser lineal bijection de$V$$\ell_2$. Esto se puede hacer desde cualquiera de los dos separables de infinitas dimensiones Los espacios de Banach tiene Hamel dimensión $c$.

Definir dos normas en $V$ a través de $\Vert x\Vert_T=\Vert Tx\Vert_{\ell_1}$ y $\Vert x\Vert_S=\Vert S x\Vert_{\ell_2}$. Then $(V,\Vert\cdot\Vert_S)$ is isomorphic to $\ell_2$ and $(V,\Vert\cdot\Vert_T)$ is isomorphic to $\ell_1$. En particular, estas dos normas son completas.

Desde $\ell_1$ no es isomorfo a $\ell_2$, se desprende que estas dos normas no son equivalentes. Por Julien respuesta, estas dos normas tienen diferentes secuencias de Cauchy.

Answer 2

Edit: aquí es un enfoque ligeramente diferente para un contraejemplo, sin referencia a ningún exterior espacio de Banach. Pretendemos que para cada infinito-dimensional espacio de Banach $(X,\|\cdot\|)$, existe otra norma completa $\|\cdot \|'$ $X$ que no es equivalente a la original de la norma y por lo tanto tiene diferentes secuencias de Cauchy.

Deje $\{x_j\,;\, j\in J\}$ ser una base de Hamel para $X$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $\|x_j\|=1$ por cada $j\in J$. Sabemos por Baire que $J$ no es contable. Pero todo lo que tenemos es que no existe $\mathbb{N}^*\simeq J_0\subseteq J$. Ahora, considere el operador lineal $T:X\longrightarrow X$ definido en la base por $Tx_n:=nx_n$ todos los $n\in\mathbb{N}^*\simeq J_0$$T_jx_j:=x_j$$j\in J\setminus J_0$. Por construcción, $T$ es invertible y sin límites.

Definir la nueva norma por $\|x\|':=\|Tx\|$. A continuación, $T:(X,\|\cdot\|')\longrightarrow (X,\|\cdot\|)$ es un isomorfismo isométrico de dónde $(X,\|\cdot\|')$ es completa. Pero $\mbox{Id}:(X,\|\cdot\|)\longrightarrow (X,\|\cdot\|')$ no está delimitado desde $T$ no está limitado por la construcción. Así que las dos normas no son equivalentes.

Tenga en cuenta que es fácil adaptar el argumento para construir una infinidad de completar pares no equivalente normas en $X$. Sólo porque $J$ contiene $\mathbb{N}\simeq \mathbb{N}\times \mathbb{N}$.

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En un espacio de Banach, una sucesión es de Cauchy si y sólo si converge. Así que usted está pidiendo que cuando dos normas $\|x\|_1$ $\|x\|_2$ en un espacio determinado $X$ el rendimiento de la misma convergencia de las secuencias.

Ya que estos son espacios métricos, las topologías son secuenciales. Así que usted está pidiendo cuando dos distintas (completa) normas de definir la misma topología. Es decir, cuando $$ \mbox{Id}:(X,\|\cdot\|_1)\longrightarrow (X,\|\cdot\|_2) $$ es un homeomorphism. Ya que este es un invertible lineal mapa, esto es equivalente a acotamiento en ambos sentidos. Es decir, a la existencia de constantes positivas $A,B$ tal que $$ Un\|x\|_1\leq \|x\|_2\leq B\|x\|_1\quad \forall x\in X. $$ Podemos decir que las normas son equivalentes.

Pero por Banach teorema de isomorfismo (o la asignación abierta si usted lo prefiere), es suficiente que uno de los lados de la desigualdad de espera. En otros términos: si cada secuencia de Cauchy para una norma es de Cauchy para el otro, las normas son equivalentes y a la inversa sostiene.

Ejemplo: en un finito-dimensional real o complejo espacio vectorial, todas las normas son equivalentes y completa.

Ejemplo: $\|f\|_\infty=\sup_{[0,1]}|f(x)|$ $\|f\|=\|f\|_\infty+|f(0)|$ son dos equivalentes completa de las normas sobre el $C^0([0,1])$.

Uy, se me olvidó contestar a la pregunta...

Contraejemplo: David Mitra del contraejemplo es perfecto. Consulte este artículo para la existencia de espacios con infinidad de completar las normas tales que el resultado de los espacios de Banach son pares no isomorfos (en particular, las normas son pares no equivalente, pero este resultado es mucho más fuerte).

Answer 3

Es definitivamente posible. Considerar los números verdaderos (2) la métrica discretay (1) la métrica usual. Ambos son completos, sin embargo, las secuencias de Cauchy sólo en (2) son las secuencias de tiempo constantes, mientras que (1) tiene muchas más secuencias de Cauchy.