Agregar asas a una esfera

Question

Estoy tratando de trabajar a través de Boothby Una Introducción a la Diferenciable Colectores en mi propio y, embarassingly, se han metido en el primer capítulo. Al final de la sección 4, capítulo 1 (llamado: Más ejemplos de colectores: cortar y pegar), hay una pregunta:

Demostrar que la adición de un identificador para un 2-variedades en el que se describió anteriormente para $S^2$ $T^2$ da un colector de 2

Por desgracia, Boothby no da definiciones formales para cortar y pegar así que no tengo idea acerca de cómo demostrar que una esfera con un mango ser localmente euclídeo. Por ejemplo, ¿qué pasa si el mango se une a la superficie, que en la junta (un círculo) las dos superficies cumplir bruscamente, por lo que a puntos en los que la articulación no podemos encontrar una normal.

Así que, mis preguntas son:

¿Donde puedo encontrar las operaciones de corte formalizado (me doy cuenta de que pegar está conectado a un cociente de topología, por lo que estoy estudiando ahora). Y, ¿cómo hace uno para responder a esta pregunta de rigor?

Editar Pensándolo bien, 'corte' podría ser este: desde un colector $M$ es metrizable, podemos quitar un disco abierto (abierto, así que tengo un límite en la resultante del colector) alrededor de un punto, es decir, consideramos que la $M - B(p,\epsilon)$. Así, dados dos diferentes puntos, le quite dos no-intersección de abrir los discos (podemos hacer esto porque un colector de hausdorff). Ahora, ¿cómo hago para "pegar" los extremos del cilindro 'sin problemas'?

Answer 1

Este es un problema conocido, que uno se resuelve de la siguiente manera:

En primer lugar, es mejor no trabajar con algunos métrica determinada en el colector, porque no sabemos con precisión cómo la métrica de la estructura (por ejemplo, las bolas en la métrica determinada) interactuar con el local Euclídea. Lo mejor es primero elegir un n.h. de un punto de $p$ que es diffeomorphic a un disco abierto en $\mathbb R^2$, y luego a trabajar con ese n.h., que uno puede pensar de muy concretamente como un disco abierto en el plano.

Por lo concreto, supongamos que es el disco abierto de radio $r$$0$. Ahora borrar el disco abierto de radio $r- \epsilon$, para algunos positivos $\epsilon$.

Así que estamos en una situación muy similar a la que usted describe (es decir,$M\setminus B(p,\epsilon)$) a excepción de que sabemos exactamente qué es lo que hemos suprimido (es decir, tenemos la certeza de que se trata de un pequeño disco), y sabemos que hay un abrir anillo de radio interior $r-\epsilon$ y radio exterior $r$ a la izquierda.

Podemos hacer lo mismo en el otro punto (utilizando Hausdorffness, como ustedes lo señalan).

Ahora, cuando nos pegamento en el cilindro, pensar en el cilindro como un círculo de la cruz un intervalo abierto, decir $I$. Ahora podemos elegir abierta pequeña subintervalos $I_1$ $I_2$ en cualquiera de los extremos del intervalo de $I$ (por lo que en total $I = I_1 \cup \text{ a closed interval } \cup I_2$, con los sindicatos de ser distinto). Aviso de que un círculo cruzado $I_1$ es diffeomorphic a nuestros abrir el anillo de arriba, y lo mismo para un círculo cruzado $I_2$. (Esto es sólo con el hecho de que el $I_i$ son intervalos abiertos, y me deja como un ejercicio para usted encontrar la diffeomorphism.)

Así que ahora podemos pegamento nuestro cilindro a $M$ menos los dos discos mediante la identificación de el círculo de la cruz $I_1$ con el anillo alrededor de uno de nuestros elimina puntos, y el círculo de la cruz $I_2$ con el otro anillo, el uso de la diffeos en el párrafo anterior.

En resumen: tenemos cuidadosamente pegadas en nuestro cilindro a que no hay esquinas, asegurándose de que cada extremo del cilindro se conecta sin problemas a un anillo alrededor de cada uno de los puntos que se va a eliminar.