No es menor el infinito en el cálculo?

Question

Algo de una pregunta básica, pero he probado la mezcla de la teoría de conjuntos y el cálculo y el resultado es un enorme lío.

A partir de la teoría de conjuntos (asumir ZFC) sabemos que no se trata de un menor infinito cardenal, $\aleph_0$, y que el infinito de los números están bien ordenados, $\aleph_1 > \aleph_0$ etc

Ahora bien, si nos movemos en el mundo de cálculo, incluso allí, hay una diferencia entre el infinito y el otro.

$\lim_{x \to \infty} x = \infty$, e $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$, pero no son el mismo, se podría decir que el $e^x$ uno es más grande, como puede ser demostrado fácilmente con lhopital $\lim_{x\to \infty} \frac{e^x}{x}$

Esto me lleva a creer que, a diferencia de la teoría de conjuntos, en el cálculo no hay más pequeño infinito. ya que si $\lim_{x \to \infty} f(x)= \infty$, $\lim_{x \to \infty} \log (f(x) = \infty$ pero menor $\infty$.

Así que la versión es "correcto"? En realidad existe una smallet infinito como en la teoría de conjuntos? o podemos seguir recibiendo más y más pequeño hasta no terminar como en el cálculo? O ambos son correctos en un contexto diferente? Estoy un poco confundida.

Lo que también nos lleva a otra pregunta, cuando decimos que en el cálculo que algunos límite tiende a $\infty$, $\infty$ estamos hablando? $\aleph_2$? $\aleph_0$?

Answer 1

No hay tal cosa como "infinito" en el cálculo, al menos no como un objeto que es como "concreto" como, por ejemplo, el número de $42$. Las cosas pueden ser tan complicado como usted quiera más adelante, pero en principio podría ser el mejor para pensar que "$\infty$" es sólo un símbolo y expresiones como "$\lim_{x\rightarrow\infty}x^2=\infty$" tiene un significado bien definido, en el sentido de que son abreviaturas para las frases son más largas en las que no hay más "$\infty$" se va a producir.

Infinitos en la teoría de conjuntos son animales completamente diferentes, sin embargo. Infinitos como $\aleph_3$ son conjuntos especiales que son "discriminados" como criterios para medir el tamaño (cardinalidad) de otros conjuntos. Así, algo como $\aleph_3$ realmente existe de acuerdo a los axiomas de la teoría de conjuntos - como opuesto a "$\infty$" que - ver arriba - no. (O, para decirlo con más cuidado - que ha de ser dado un significado específico en orden a "existir" en una manera significativa. Otros han explicado maneras de hacer esto.)

Answer 2

Hay una razón por la que la teoría de conjuntos no usar el símbolo $\infty$ - porque sería muy fácilmente confundido por la forma en que ha sido utilizado dentro de los límites y de cálculo en general por un largo tiempo. En particular, los límites están hablando de algo que puede ser mejor llamado "lineal infinito" o "topológico infinito."

Esencialmente, podemos añadir a los "valores" $-\infty$$+\infty$, a la línea real, y darles significado, en el sentido de la convergencia, sin hacer números. Hay un profundo sentido en el que la convergencia de estos nuevos valores "es el mismo como" la convergencia con otros valores en la recta real. Pero la verdadera clave es que estos dos valores no son números.

Las secuencias de $\{\frac{1}{n}\}$ $\{e^{-n}\}$ ambos convergen a $0$ a precios muy diferentes, pero no llamamos a esos ceros diferentes. La rapidez con que algo converge pueden ser muy diferentes, pero eso no significa que el valor en el que convergen es diferente.

Hay un sentido en el que la convergencia puede ser más rápido y más lento, pero que sin embargo tiene nada que ver con el infinito. Usted puede hacer el mismo ejemplo anterior con:

$$\lim_{x\to 0} x = 0 =\lim_{x\to 0} e^{-1/x^2}$$

Más generalmente, $f(x)\to+\infty$ es exactamente el mismo que $\arctan f(x)\to\frac{\pi}{2}$, y del mismo modo, $f(x)\to-\infty$ es exactamente el mismo que $\arctan f(x)\to-\frac{\pi}2$. Así que la idea de que hay diferentes "valores" de la infinidad de cálculo es un poco de confusión. En este sentido, la convergencia hacia el "infinito" es la misma que la convergencia a $1$ de una función de rango en el intervalo de $(-1,1)$.

Una forma típica para definir los números reales es definir la noción de Dedekind corte en los racionales, $\mathbb Q$. Un Dedekind corte es un subconjunto $C$ $\mathbb Q$ con las siguientes propiedades:

1. $\forall x\in C\,\forall y\in\mathbb Q(y<x\implies y\in C)$
2. $\forall x\in C\,\exists y\in C(x<y)$
3. $C\neq \emptyset$
4. $C\neq \mathbb Q$.

El conjunto de los números reales se define como el conjunto de todos los Dedekind cortes.

Pero si se define un Corte Extendido con (1) y (2), $\emptyset$ corresponde a $-\infty$ $\mathbb Q$ corresponde a $+\infty$. Así que, en este sentido, disponer de la extendida línea real es "más sencillo" tener la línea real.

La razón principal comenzamos con Dedekind cortes es nuestra obsesión con las propiedades algebraicas de la $\mathbb R$. No podemos definir, además de la extensa línea real en una forma útil, por ejemplo, debido al problema de la $+\infty+(-\infty)$. Pero si nos quedamos sólo interesados en las propiedades topológicas de la línea real (continuidad, límites, etc), a continuación, el extendido línea real en realidad tiene más sentido, y tiene la ventaja de que es más sencillo.

Answer 3

La primera noción de infinito en el cálculo es la geométrica: la ampliación de los números reales añade dos puntos de la recta real: $+\infty$ $-\infty$ para hacer la línea real un intervalo cerrado. Esto es totalmente análoga a la adición de $0$ $1$ para el intervalo de $(0,1)$ hacer el intervalo cerrado $[0,1]$.

No hay "grados" de infinito en este sentido: sólo hay un infinito positivo extendido número real: $+\infty$. Y del mismo modo, sólo hay uno negativo infinito extendido número real.

Su idea acerca de la $e^x$ siendo mayor que $x$ $x \to +\infty$ es un tema llamado asymptotics. Podemos cuantificar en varios sentidos de la tasa de crecimiento de funciones; un método común es por "big-oh" notación y cosas relacionadas.

Pero como se relacionan a $+\infty$, el derecho de la intuición es que tanto $\Theta(x)$ $\Theta(e^x)$ son mayores que cualquier número real, pero más pequeño que el $+\infty$. Usted debe pensar en ellos como siendo aproximadamente $+\infty$ , $\Theta(e^x)$ ser una aproximación más cercana.

Answer 4

En este contexto, $-\infty$ $\infty$ puede ser considerado como el primero y el último de los elementos de la extendida real de la línea respectivamente.

El extended real línea perfectamente definida la topología: de hecho, es un compactification de la línea real. Lo que en este sentido, estos infinitos son de relleno en los "agujeros" en el original espacio topológico. Cuando se habla de los límites que divergen hacia el infinito, que encajan dentro de los límites en la prolongación de la línea real muy bien: los límites son en realidad la convergencia a un punto en el espacio.

Pero en la escuela primaria de cálculo, no es ordinario para introducir el extendido de los números reales de esta manera. A continuación, utilizando la notación $\pm \infty$ es utilizado oficialmente para indicar un límite aumenta o disminuye sin límite.

No surgen de la cardinalidad igual que el cardinal de los números que están hablando. Son etiquetados de esta manera, simplemente porque ahí es donde están colocados en el orden total de la extensión de la línea real.

Answer 5

Hay un contexto en el que esta pregunta tiene sentido. Es decir, dada cualquier función de $f$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, debe ser otra que va hasta el infinito y más lentamente?