Producto de todos los elementos de un grupo finito con un único elemento de orden 2

Question

Que estén bien, caballeros. Tengo el siguiente problema del Álgebra de Aluffi: dado un grupo finito $G$ con un elemento único $f$ de orden $2$ , demuestran que \begin{equation} \prod_{g\in G}g=f \end{equation} Mi razonamiento es el siguiente. Dado que $f$ es el único elemento de orden $2$ para cada $g\in G$ tal que $g\neq e$ y $g\neq f$ Debe ser que $g^{-1}\neq g$ . Así que podemos inventar un producto particular acoplando los elementos con sus inversos: \begin{equation} e\cdot f\cdot (g_1\cdot g_1^{-1})\cdot(g_2\cdot g_2^{-1})\cdots (g_n\cdot g_n^{-1}) \end{equation} que en realidad es sólo $f$ al final. Mi pregunta es: ¿cómo puedo demostrar que el orden de los factores en este producto realmente no importa? No veo una salida.

Answer 1

Como se ha señalado anteriormente, la expresión $\prod_{g\in G}g$ no tiene sentido. Para dar un ejemplo concreto, consideremos el grupo cuaterniónico $G=Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ (bajo la multiplicación de cuaterniones). Sólo tiene un elemento de orden dos, a saber $-1$ . Ahora $$ 1\cdot(-1)\cdot i\cdot(-i)\cdot j\cdot(-j)\cdot k\cdot(-k)=-1 $$ pero $$ 1\cdot(-1)\cdot i\cdot j\cdot(-i)\cdot(-j)\cdot k\cdot(-k)=1. $$ Por lo tanto, es cierto que hay que especificar un orden para el producto. Es cierto que hay un orden para que el resultado se mantenga, pero no se mantiene para todos los órdenes.

Answer 2

Esto es un error en el libro de texto. En errata está escrito que debe ser un grupo conmutativo.

Answer 3

Si el grupo no es abeliano, la expresión $$\prod_{g\in G} g$$ no tiene sentido. (No tiene ningún sentido si el grupo es infinito, pero supongo que no lo es...)

De hecho, tome cualquier elemento $x,y\in G$ tal que $xy\neq yx$ y llamar a los demás elementos $$g_1,g_2,\ldots,g_r$$ Entonces, $$g_1g_2\cdots g_rxy\neq g_1g_2\cdots g_ryx$$ por lo que el producto de los elementos de $G$ depende del orden elegido.

Así que creo que hay dos posibilidades: quizás hay que asumir que la expresión prod tiene sentido, y hay que demostrar que, entonces, el grupo debe ser abeliano (como acabo de hacer), o el problema está mal planteado.