Aquí hay dos ideas en la parte superior de mi cabeza. ¿Hay algo específico que usted desea hacer con este tipo de construcción? (EDIT: acabo de ver tu edición. No estoy seguro de lo bien que cualquiera de lo que he dicho se aplica, pero tal vez esto te ayudará a inspirar. Lo voy a pensar más acerca de su pregunta y volver a usted.)
En primer lugar, puede formar el ideal de (I:x)={y∈A:xy∈I}. Una mayor colon ideal parece sugerir que x es multiplicatively " más cerca de la I'. Si x∈I, todo esto es de A; si I es el primer y x∉I, es igual a I. Mi aplicación favorita de este es el Lam-Reyes, el Primer Principio Ideal, que le permite a la conclusión de que los ideales maximal con respecto a ciertas propiedades son siempre prime.
Segundo, hay un natural de la topología en A llama la I-ádico de la topología. Este tiene una base dada por los conjuntos de x+Inx∈An≥0. Este es Hausdorff iff ⋂In=0, y en este caso es metrizable, con métrica dada por (por ejemplo) d(x,y)=2−n si x∈y+In pero no y+In+1. La cosa que la gente que más comúnmente se hacen con este (especialmente cuando se A es local con ideal maximal I) es la forma de la realización, que en realidad lleva a una estructura de anillo: es sólo una lim←A/In.
En el caso de que es demasiado abstracto, he aquí un buen ejemplo: tome A=Z I un alojamiento ideal (p). Entonces la distancia de x 0 ('p- ádico valor absoluto') mide cuántos factores de px, con números que son altamente divisible por p está muy cerca de cero. La finalización es el límite de la inversa de sistema de ⋯→Z/p3Z→Z/p2Z→Z/pZ. Es decir, a dar un elemento de este anillo, primero, escoja un número entero a1 mod p; a continuación, un entero a2 mod p2, que se reduce a a1 mod p; y así sucesivamente. Ya que los altos poderes de la p son pequeños, los sucesivos ai son como cada vez más cerca de aproximaciones para el elemento que desee. (Esta conclusión es llamado el 'p-ádico enteros' Zp.)
La topología de Zariski, como Frank McGovern menciona en su comentario, es en realidad una topología en el conjunto del primer ideales del anillo de A, aunque sigue siendo la mejor manera de pensar acerca de la A como un espacio topológico. Este espacio topológico lleva a un natural de la estructura de la gavilla,' y los elementos de la A son pensó mejor en este contexto global de las secciones de esta gavilla. (Dependiendo de sus antecedentes, que la última frase será obvio o no tienen sentido. Si el último, un vistazo a un libro de introducción a la geometría algebraica, como Ravi Vakil notas.)