distancia algebraica de un elemento de un anillo de un ideal

Question

Deje $A$ ser un anillo conmutativo y $I$ un ideal. ¿Existe una noción de "distancia" de un elemento $x \in A$ de los ideales de $I$? Esta "distancia", no tiene que ser de la forma $A\rightarrow \mathbb{R}$; podría ser una expresión algebraica de la construcción, tal vez en términos de secuencias exactas y resoluciones o incluso un topológico de la construcción.

Alguna idea?

¿Existe alguna relacionada con las teorías?

Edit: vamos a considerar el más caso específico en el cual $A=\mathbb{R}[x_1,\cdots,x_n]$ $I$ es un ideal de a $A$. Deje $f(x) \in A$ ser un polinomio. A continuación, estoy interesado en un mecanismo que me permita determinar qué tan cerca de $f(x)$ $I$ y luego, posiblemente, encontrar el elemento de $I$ que es la más cercana a $f(x)$.

Answer 1

Aquí hay dos ideas en la parte superior de mi cabeza. ¿Hay algo específico que usted desea hacer con este tipo de construcción? (EDIT: acabo de ver tu edición. No estoy seguro de lo bien que cualquiera de lo que he dicho se aplica, pero tal vez esto te ayudará a inspirar. Lo voy a pensar más acerca de su pregunta y volver a usted.)

En primer lugar, puede formar el ideal de $(I:x) = \{y \in A: xy \in I\}$. Una mayor colon ideal parece sugerir que $x$ es multiplicatively " más cerca de la $I$'. Si $x \in I$, todo esto es de $A$; si $I$ es el primer y $x \not\in I$, es igual a $I$. Mi aplicación favorita de este es el Lam-Reyes, el Primer Principio Ideal, que le permite a la conclusión de que los ideales maximal con respecto a ciertas propiedades son siempre prime.

Segundo, hay un natural de la topología en $A$ llama la $I$-ádico de la topología. Este tiene una base dada por los conjuntos de $x + I^n$$x \in A$$n \ge 0$. Este es Hausdorff iff $\bigcap I^n = 0$, y en este caso es metrizable, con métrica dada por (por ejemplo) $d(x,y) = 2^{-n}$ si $x \in y + I^n$ pero no $y + I^{n+1}$. La cosa que la gente que más comúnmente se hacen con este (especialmente cuando se $A$ es local con ideal maximal $I$) es la forma de la realización, que en realidad lleva a una estructura de anillo: es sólo una $\varprojlim A/I^n$.

En el caso de que es demasiado abstracto, he aquí un buen ejemplo: tome $A = \mathbb{Z}$ $I$ un alojamiento ideal $(p)$. Entonces la distancia de $x$ $0$ ('$p$- ádico valor absoluto') mide cuántos factores de $p$$x$, con números que son altamente divisible por $p$ está muy cerca de cero. La finalización es el límite de la inversa de sistema de $\dotsb \to \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Es decir, a dar un elemento de este anillo, primero, escoja un número entero $a_1$ mod $p$; a continuación, un entero $a_2$ mod $p^2$, que se reduce a $a_1$ mod $p$; y así sucesivamente. Ya que los altos poderes de la $p$ son pequeños, los sucesivos $a_i$ son como cada vez más cerca de aproximaciones para el elemento que desee. (Esta conclusión es llamado el '$p$-ádico enteros' $\mathbb{Z}_p$.)

La topología de Zariski, como Frank McGovern menciona en su comentario, es en realidad una topología en el conjunto del primer ideales del anillo de $A$, aunque sigue siendo la mejor manera de pensar acerca de la $A$ como un espacio topológico. Este espacio topológico lleva a un natural de la estructura de la gavilla,' y los elementos de la $A$ son pensó mejor en este contexto global de las secciones de esta gavilla. (Dependiendo de sus antecedentes, que la última frase será obvio o no tienen sentido. Si el último, un vistazo a un libro de introducción a la geometría algebraica, como Ravi Vakil notas.)