Rigurosa prueba de un producto infinito.

Question

Te voy a dar una prueba de la siguiente expansión:

$$\frac{\sin x}{x} = \prod_{i=1}^{\infty} \cos \frac{x}{2^i}$$

$${\sin x} = 2 \cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}$$

$${\sin x} = 2^2 \cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{4}\sin \frac{x}{4}$$

$$ {\sin x} = 2^3 \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cos \frac{x}{8} \sin\frac{x}{8} $$

$$ {\sin x} = 2^k \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cdots\cos \frac{x}{2^k} \sin\frac{x}{2^k} $$

$${\sin x} = 2^k \sin\frac{x}{2^k} \prod_{i=1}^{k} \cos \frac{x}{2^i} $$

$$ \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin \displaystyle \frac{x}{2^k}}{\displaystyle \frac{x}{2^k}} \prod_{i=1}^{k} \cos \frac{x}{2^i} $$

Que $k \to \infty$, entonces el $\displaystyle \frac{x}{2^k} \to 0$

$$ \frac{\sin x}{x} = \prod_{i=1}^{\infty} \cos \frac{x}{2^i} $$

¿Hay alguna observación adicional necesario para hacer la prueba completa?

Supongo que desde $$\cos \frac{x}{2^i} \to 1$ $

la convergencia no está en juego.

Answer 1

Su expresión $$ \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin \frac{x}{2^k}}{ \frac{x}{2^k}} \prod_{i=1}^{k} \cos \frac{x}{2^i} $$ es correcto. Tal vez deberíamos separar el caso muy especial $x=0$, y a partir de entonces asumir que $x\ne 0$. Para $x=0$, $\frac{\sin x}{x}$ es formalmente definido, pero es natural conjunto es igual a $1$. A continuación, la fórmula funciona. Si estamos sintiendo en un muy formal el estado de ánimo, debemos demostrar la corrección de su expresión a través de la inducción en $k$. Sin embargo, creo que sería una exageración.

Queremos encontrar el límite de la expresión a la derecha de la $k\to \infty$. Como se observa, $\frac{x}{2^k}\to 0$$k\to \infty$. Que ciertamente no necesita prueba. Sin embargo, es necesario observar que, desde $$\lim_{t=0}\frac{\sin t}{t}=1,$$ tenemos $$\lim_{k\to\infty} \frac{\sin \frac{x}{2^k}}{ \frac{x}{2^k}}=1.$$ Hay por desgracia algunos casos especiales que requieren un tratamiento especial. Nos ocupamos en primer lugar con el "general" caso al $x$ no es un múltiplo entero de $\pi$. Luego su expresión se puede reescribir como $$\frac{\sin x}{x}\frac{\frac{x}{2^k}}{\sin\frac{x}{2^k}}=\prod_{i=1}^{k} \cos \frac{x}{2^i}.$$ Desde $$\lim_{k\to\infty}\frac{\sin x}{x}\frac{\frac{x}{2^k}}{\sin\frac{x}{2^k}}$$ existe y es igual a $\frac{\sin x}{x}$, llegamos a la conclusión de que $$\lim_{k\to\infty} \prod_{i=1}^{k} \cos \frac{x}{2^i}$$ también existe y es igual a $\frac{\sin x}{x}$.

Si $x\ne 0$ es un múltiplo entero de $\pi$, tenemos que elegir a $k$ lo suficientemente grande como para que $\sin\frac{x}{2^k}\ne 0$, los demás, cuando nos re-escribir su expresión, podríamos dividir por $0$. Punto menor. Para tales $x\ne 0$, $\frac{\sin x}{x}=0$, y uno de los cosenos es $0$. Así que, en ese caso también, aparte de un tecnicismo se discute a continuación, la fórmula parece correcto.

Técnica de la observación: En la definición formal de un infinito producto, podemos decir que $$\prod_{i=1}^\infty a_i$$ converge si $$\lim_{k\to\infty}\prod_{i=1}^k a_i$$ existe y es no es igual a $0$. Así que técnicamente al $x$ es un múltiplo entero de $\pi$, el infinito producto no convergen!