irreductibilidad de $x^{5}-2$ $\mathbb{F}_{11}$.

Question

Yo soy el encargado de mostrar que el $x^{5}-2$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_{11}$ el campo finito de 11 elementos. He deducido que no tiene factores lineales por Fermat poco teorema. Pero la muestra no tiene factores cuadráticos está resultando más difícil.

Mi enfoque es, hasta ahora, supongamos que lo hizo. Factor del polinomio y remulitply y comparar los coeficientes para obtener una contradicción. Estoy teniendo problemas para hacer eso, ya que hay muchos casos. Me dieron de sugerencia

"¿Cuántos elementos hay en una ecuación cuadrática de la extensión de $\mathbb{F}_{11}$"? La respuesta es 121, pero no sé cómo que me ayuda. Consejos sobre el trato con la sugerencia sería muy bonito. Gracias.

Answer 1

Si $x^5 - 2$ tiene un factor cuadrático, tiene una raíz $\alpha$ en una extensión cuadrática $K$ $\mathbb{F}_{11}$. Ya que el grupo de unidades de $K$ $120$ $\alpha^{120} = 1$ elementos. ¿Ahora $\alpha^5 = 2$, por lo que el orden de $2$ debe dividir...?

Answer 2

Absolutamente nada de malo con Daniel de la solución. Ofrecer una ruta alternativa.

Vemos que $4$ es una primitiva de la quinta raíz de la unidad en la $\Bbb{F}_{11}$. Si $\alpha$ es un cero de $x^5-2$, entonces ya sabes que $\alpha$ es en algún campo de la extensión $K=\Bbb{F}_{11}[\alpha]$ grado $n>1$. A continuación, los otros ceros del polinomio mínimo de a $\alpha$ entre $4^k\alpha, k=1,2,3,4$. Por lo tanto, no existe un automorfismos $\sigma\in Gal(K/\Bbb{F}_{11})$ tal que $\sigma(\alpha)= 4^\ell\alpha$, $0<\ell<5$. Pero debido a que $\sigma(4^\ell)=4^\ell$ esto implica que el orden de $\sigma$ es un múltiplo de cinco. El reclamo de la siguiente manera.

Answer 3

$\, \color{#c00}{a^{\Large 5}\! = 2}\, \Rightarrow\, a^{\large{120}}\! = \dfrac{(\color{#c00}{a^{\Large{5}}})^{\large{25\!\!\!}}}{\color{#c00}{a^{\Large 5}}}\! = \dfrac{(\color{#c00}2^{\Large{5}})^{\large{5\!\!\!}}}{\color{#c00}2} = \dfrac{(-1)^{\Large{5}}\!\!\!}2\ne 1\ $contra $\ X^{\Large{120}}\! = 1\,$ $\ 0\ne X\in \Bbb F_{11^{\Large{2}}}\ \ $ QED