muestran que un subconjunto de $\mathbb{R}$ iff compacto es cerrado y limitado

Question

Muestran que un subconjunto de $\mathbb{R}$ iff compacto es cerrado y limitado.

Por definición de compacto, es compacto si cada recubrimiento abierto de $S\subset\mathbb{R}$ tiene un subcovering finito un conjunto $S$. Así que para una determinada cubierta abierta {$U_{n}$}, allí exista un recubrimiento finito $U_1,...,U_n$ {$U_{n}$} s.t. $S\subset U_1\cup...\cup U_n$.

Ahora que tengo todo esto del camino, sé no es exactamente donde empezar.

Answer 1

La prueba de este teorema no es difícil, pero de largo y no tan divertidos. Os dejo algunas sugerencias.

1. Demostrando compacto $\Rightarrow$ cerrado y acotado.
   1. Demostrar que, en un espacio de Hausdorff, cada subespacio compacto es cerrado. Esto no es tan trivial, creo. Vamos a ser $Y$ un subespacio compacto de un espacio topológico $(X,\tau)$. Podemos demostrar que $X\setminus Y$ está abierto. Vamos a ser $x_0 \in X\setminus Y$ un genérico pero con un punto fijo; por la separación axioma, existen (abierto) vecindarios $U_y$ por cada $y\in Y$ $X$ $V_y$ $x_0$ $X$ con el decoro que $U_y\cap V_y=\varnothing$. Ahora, la familia $\mathfrak{U}=\{U_y\,|\,y\in Y\}$ es un cover de $Y$; por lo que hay un número finito $k$ de los elementos de la $y_1,\ldots,y_k$ tal que $\{U_{y_i}\,|\,i=1,\ldots,k\}$ cubre $Y$ y de tal manera que todos los elementos son distintos de los respectivos Hausdorff vecindario $V_{y_i}$. A continuación, consideramos que el elemento $V=V_{y_1}\cap\ldots \cap V_{y_k}$, que es un barrio abierto de $x_0$$X\setminus Y$. Podemos repetir el costruction para cada $x_0\in X\setminus Y$, por lo que la tesis.
   2. Como corolario evidente, en un espacio métrico cada compacto subsace está cerrado. Así, en $\mathbb{R}^n$.
   3. Mostrar que cada subespacio compacto en un espacio métrico $(X,d)$ es necesariamente limitada con respecto a la métrica $d$ (esto es fácil).
2. Demostrando que cerrado y acotado $\Rightarrow$ compacto.
   1. Un primer paso puede ser la prueba de que está delimitada por una $Y\subseteq \mathbb{R}^n$ igual a la existencia de un cerrado pluri-rectángulo $Q=[a_1 ,b_1]\times\ldots\times [a_n,b_n]$ que contiene $Y$.
   2. Por una versión simple del teorema de Tychonoff, que puede resultar muy fácilmente, lo finito producto de espacios compactos es compacto en el ambiente producto de espacio. También lo hace la pluri-rectángulo como producto de espacios compactos (en $\mathbb{R}$).
   3. Usted sabe que $Y$ es cerrado en $\mathbb{R}^n$, por lo que también está cerrado en el subespacio compacto $Q$.
   4. Un subespacio cerrado de un espacio compacto ya es compacto. Este hecho tiene una muy simple y recta de la prueba.
   5. Así se demostró que el $Y$ es compacto.

Un muy aburrido parte de que he cambiado es la prueba de que cada intervalo cerrado en $\mathbb{R}$ es compacto. Creo que usted debe haber visto eso.