Elementos irreductibles en $\mathbf Z[\sqrt{-3}]$

Question

El anillo $A:=\mathbb Z[\sqrt{-3}]$ es el prototipo de los anillos que se suelen utilizar en un primer curso de teoría algebraica de los números para mostrar la diferencia entre elementos primos e irreducibles.

Me preguntaba si podría enumerar todos los elementos primos e irreducibles de este anillo, en lugar de limitarse a dar ejemplos que demuestren que son conjuntos diferentes.

Dado que cada elemento $x$ en $A$ divide un entero no nulo (su norma $N(x):=x \cdot \overline{x}$ ), se puede restringir la búsqueda a los divisores de enteros.

Para los elementos primos la situación es fácil: casi por definición, encontramos todos los elementos primos en $A$ como divisores de los primos en $\mathbb Z$ . Al ver que un primo $p\in \mathbb Z$ sigue siendo primordial en $A$ si $-3$ no es un mod cuadrado $p$ (esto puede hacerse más explícito utilizando la reciprocidad cuadrática...). Si $-3$ es un cuadrado, obtenemos dos factores primos.

Para los elementos irreducibles, ¿podemos hacer la lista (lo más explícita posible) de todos esos elementos? Por supuesto, existen todos los elementos cuya norma no es un producto (no trivial) de elementos de la forma $a^2+3b^2$ . No me queda claro que sean los únicos. ¿Podemos explicitarlo?

Answer 1

El Sr. Brooks iba por buen camino en los dos primeros párrafos de su respuesta. Lo que tenía que hacer a continuación, después de aclarar la parte de que este subdominio no es integralmente cerrado, era aclarar la diferencia entre irreducibles que también son primos e irreducibles que no son primos.

Si siempre que $p = ab$ o bien $a$ o $b$ es una unidad, entonces $p$ es irreducible. Pero si además siempre que $p \mid ab$ o bien $p \mid a$ o $p \mid b$ es cierto (tal vez ambos), entonces $p$ también es primo.

Así que vemos que en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ (un subdominio de $\mathbb{Z}[\omega]$ ) el número 2 es irreducible. También es irreducible en $\mathbb{Z}[\omega]$ como todos los primos $p$ de $\mathbb{Z}^+$ Satisfaciendo a $p \equiv 2 \pmod 3$ .

Y sin embargo $4 = 2^2 = (1 - \sqrt{-3})(1 + \sqrt{-3})$ pero $$\frac{1 - \sqrt{-3}}{2} \not\in \mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$$ e igualmente $$\frac{1 + \sqrt{-3}}{2} \not\in \mathbb{Z}[\sqrt{-3}].$$

Pero ambas cifras están en $\mathbb{Z}[\omega]$ Uno de ellos es $-\omega$ el otro es $-\omega^2$ . Y como $N(\omega) = 1$ (como ya demostró el Sr. Brooks), entonces $(1 - \sqrt{-3})(1 + \sqrt{-3})$ es una factorización incompleta de 4 en $\mathbb{Z}[\omega]$ .

Entonces, ¿qué I Creo que lo que estás buscando son números de la forma $a^2 + 3b^2$ que se componen en $\mathbb{Z}$ y divisible por algún entero positivo puramente real $p \equiv 2 \pmod 3$ .

Mi corazonada es que sólo el 2 encaja en este proyecto, ya que, por ejemplo, $5^2 + 3 \times 1^2 = 28 = 2^2 \times 7$ pero $7 \equiv 1 \pmod 3$ y $(2 - \sqrt{-3})(2 + \sqrt{-3}) = 7$ . Seguiré reflexionando sobre esto a la espera de más aclaraciones por su parte.

Answer 2

Se refiere a todos los números de la forma $a + b \sqrt{-3}$ , donde $a, b \in \mathbb{Z}$ (o $\mathbf{Z}$ si prefiere esa notación)? Supongo que porque no lo has dicho explícitamente nadie ha señalado que esto no es un cierre de enteros (no es exactamente el término correcto, pero creo que sabes lo que quiero decir).

Observe, por ejemplo, que $$\omega^3 = \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}\right)^3 = 1,$$ lo que significa que este $\omega$ es un número algebraico de grado como máximo cúbico. Pero como $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ es de hecho un entero algebraico de grado cuadrático.

Entonces creo que lo que buscas es un número que sea primo en $\mathbb{Z}$ no puede expresarse como un producto de números de la forma $a + b \sqrt{-3}$ pero puede expresarse como un producto de números de la forma $a + b \omega$ .

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EDITAR: Creo que ayer me confundí completamente en el último párrafo. Ahora me parece que no existen números del tipo que describí, y la razón debería ser perfectamente obvia, pero se me escapa. Retiraría mi respuesta si no fuera por la referencia en la respuesta del Sr. Soupe.