Consideramos un Pentágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5$ y $(C)$ es su círculo inscrito. , Tomando como centros lo puntos $Α_1$, $Α_2$, $Α_3$, $Α_4$, $Α_5$, dibujar lo círculos $(C_1)$, $(C_2)$, $(C_3)$, $(C_4)$, $(C_5)$ que son tangentes a $(C)$ en el % de puntos $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$respectivamente. Consideremos ahora un punto elegido al azar $M$ del arco $B_1B_5$. De $M$ dibujamos la tangentes $MT_1,MT_2,MT_3,MT_4,MT_5$ de lo círculos $(C_1)$, $(C_2)$, $(C_3)$, $(C_4)$, $(C_5)$ repsectively. Mostrar que $MT_1+MT_3+MT_5=MT_2+MT_4$
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Para su comodidad, voy a tomar el subíndices para ejecutar de$0$$4$.
Deje que el radio de la del pentágono de la circunferencia inscrita ser $1$, y dejar que el radio de los círculos pequeños se $r$. Con el pentágono del centro en el origen del plano complejo, podemos alinear sus vértices con el quinto raíces de la unidad $$A_k = ( 1 + r ) \; e^{ik\alpha} \qquad \text{where} \qquad \alpha := \frac{2\pi}{5}$$
Escribir $M:=e^{i\theta}$$0 \geq \theta \geq -\alpha$, por lo que el $M$ se encuentra entre $A_0$$A_4$.
Ahora, tenga en cuenta que cada una de las $\triangle MA_kT_k$ tiene un ángulo recto en $T_k$, por lo que $$\begin{align} |MT_k|^2 = |MA_k|^2 - r^2 &= \left|\;(1 + r )\; e^{ik\alpha}- e^{i\theta}\;\right|^2 - r^2 \\ &= \left( (1 + r )\; e^{ik\alpha} - e^{i\theta} \right)\left( (1 + r )\; e^{-ik\alpha} - e^{-i\theta} \right) - r^2 \\ &= 1 - ( 1 + r )\left( e^{i(k\alpha-\theta)} + e^{-i(k\alpha-\theta)} \right) + ( 1 + r )^2 - r^2 \\ &= \left( 1 + r \right) \left( 2 - \left( e^{i(k\alpha-\theta)} + e^{-i(k\alpha-\theta)} \right) \right)\\ &= -\left( 1 + r \right) \left( e^{i(k\alpha-\theta)/2} - e^{-i(k\alpha-\theta)/2} \right)^2 \\ &= 4 \left( 1 + r \right) \sin^2 \frac{k \alpha - \theta}{2} \end{align}$$ (La simplicidad de esta fórmula me hace pensar que debe tener un buen geométrica de la derivación.)
Dada nuestra límites en $\theta$,$0 \leq \frac{k \alpha}{2} \leq \frac{k \alpha -\theta}{2} \leq \frac{(k+1) \alpha}{2} \leq \pi$, lo que implica $$|MT_k| = 2 \sqrt{1+r} \; \sin\frac{k\alpha - \theta}{2} = -i\;\sqrt{1+r}\;\left( e^{i(k\alpha-\theta)/2} - e^{-i(k\alpha-\theta)/2} \right)$$ En consecuencia, la alternancia suma de los $|MT_k|$s es una combinación de la serie geométrica: $$\begin{align} \frac{i}{\sqrt{1+r}}\; \sum_{k=0}^{4} (-1)^k|MT_k| &= e^{-i\theta/2}\; \sum_{k=0}^{4} \left(-e^{i\pi/5}\right)^k - e^{i\theta/2}\; \sum_{k=0}^{4} \left(-e^{-i\pi/5}\right)^k \\ &= e^{-i\theta/2}\;\frac{1-\left(-e^{i\pi/5}\right)^5}{1+e^{i\pi/5}} - e^{i\theta/2}\; \frac{1-\left(-e^{-i\pi/5}\right)^5}{1+e^{-i\pi/5}} \\ &= 0 - 0 = 0 \end{align}$$ lo que da el resultado.
Curiosamente, el valor exacto de radio $r$ es irrelevante aquí. El resultado es válido para externamente círculos tangentes de cualquier tamaño; tomando $r$ negativo en la definición de $A_k$, vemos que el resultado también es válido para internamente círculos tangentes (de radio de menos de $1$).
Vamos a pensar en ello, el número de lados sólo se vuelve relevante en el cálculo de $\left(-e^{i\pi/5}\right)^5 = 1$, que no es tanto una propiedad de cinco-ness como de impar-ness. El resultado se cumple para cualesquiera $n$-gon con extraña $n > 1$.
