¿Cómo encontrar el límite $\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{j=1}^n \left( 1+\frac{1}{j} \left(\cos \left(\frac{tj}{n} \right)-1 \right) \right)$?

Question

$$ \lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{j=1}^n \left( 1+\frac{1}{j} \left(\cos \left(\frac{tj}{n} \right)-1 \right) \right)$$

No estoy seguro de cómo encontrar este límite. ¿Hay algunas técnicas generales que debo estar utilizando cuando se busca el límite? Sé que debo obtener: \exp\left $$ ({\int_0^1 \frac{\cos (tx)-x} {x} \, dx} \right). $$

Answer 1

Poner $a_n:=\prod \limits_{j=1}^n \left( 1+\frac{1}{j} \left(\cos \left(\frac{tj}{n} \right)-1 \right) \right)$. Entonces %#% $ de #% usando la desigualdad $$b_n:=\ln a_n=\sum_{j=1}^n\ln\left(1+\frac{1}{j} \left(\cos \left(\frac{tj}{n} \right)-1 \right)\right).$ $x-\frac{x^2}2\leq \ln(1+x)\leq x$, obtenemos $x>-1$$ Put $$\sum_{j=1}^n\frac 1j\left(\cos\left(\frac{tj}n\right)-1\right)-\frac 12\sum_{j=1}^n\frac 1{j^2}\left(\cos\left(\frac{tj}n\right)-1\right)^2\leq b_n\leq \sum_{j=1}^n\frac 1j\left(\cos\left(\frac{tj}n\right)-1\right).$. Entonces $$ C_n = \frac1n\sum_ {j = 1} ^ n\frac nj\left (\cos\left(\frac{tj}n\right)-1\right) = \frac 1n\sum_ {k = 1} ^ nf\left(\frac kn\right), $$ $c_n:=\sum_{j=1}^n\frac 1j\left(\cos\left(\frac{tj}n\right)-1\right)$, que pueden extenderse por continuidad a $f(x)=\frac{\cos (tx)-1}x$. Por lo tanto obtenemos $\left[0,1\right]$. Ahora, ya que es $\lim_{n\to\infty}c_n=\int_0^1f(x)dx=\int_0^1\frac{\cos (tx)-1}xdx$ $ $$\sum_{j=1}^n\frac 1{j^2}\left(\cos\left(\frac{tj}n\right)-1\right)^2=\frac 1{n^2}\sum_{j=1}^n\frac {n^2}{j^2}\left(\cos\left(\frac{tj}n\right)-1\right)^2$ veces una suma de Riemann de una función continua (después de la extensión), su límite $\frac 1n$ es $n\to\infty$ y concluimos por el teorema del apretón.

Answer 2

Demostrar que existe el límite, pero no puedo encontrar este límite

$$a_n=\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{j=1}^n \left[ 1+\frac{1}{j} \left(\cos \left(\frac{tj}{n} \right)-1 \right) \right]$$

$$\to \ln a_n=\lim \limits_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n \ln\left[ 1+\frac{1}{j} \left(\cos \left(\frac{tj}{n} \right)-1 \right) \right]$$

Con la expansión de Taylor: $$\ln(1+x)=x+O(x)$ $

Por lo tanto: $$ \ln\left[ 1+\frac{1}{j} \left(\cos \left(\frac{tj}{n} \right)-1 \right) \right]=\frac{1}{j} \left(\cos \left(\frac{tj}{n} \right)-1 \right)+O(\cdots)$ $

$$\to \ln a_n=\lim \limits_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n \left[ \frac{1}{j} \left(\cos \left(\frac{tj}{n} \right)-1 \right) +O(\cdots)\right] =\int_{0}^{1}\frac{\cos(tx)-1}{x}dx$$

Porque: $\int_{0} ^{1} \left(\cos(tx)-1\right) dx\leq 3$

Por lo tanto, integral $\int_{0}^{1}\frac{\cos(tx)-1}{x}dx$ es convergente integral

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