La evaluación de $\int_{0}^{\pi/4} \log(\sin(x)) \log(\cos(x)) \log(\cos(2x)) \,dx$

Question

¿Qué herramientas me puede recomendar para evaluar esta integral?

$$\int_{0}^{\pi/4} \log(\sin(x)) \log(\cos(x)) \log(\cos(2x)) \,dx$$

Mi primer pensamiento fue el uso de la función beta, pero es difícil de conseguir un formulario, ya que
de $\cos(2x)$. ¿Qué otras opciones tengo?

Answer 1

Mathematica no puede encontrar una expresión de esta integral en términos de funciones elementales. Sin embargo, se puede integrar numéricamente, como este

 NIntegrate[Log[Sin[x]] Log[Cos[x]] Log[Cos[2 x]], {x, 0, Pi/4}]

para producir el resultado

 -0.05874864

Edit: me han dicho una expresión analítica aún pueden existir, aunque no se la puede encontrar con Mathematica. Independientemente, el valor numérico es el de arriba.