La respuesta a las dos primeras preguntas se puede encontrar en (por ejemplo) de Wikipedia mediante la búsqueda de "el doble de los números primos" y "Goldbach", respectivamente. De acuerdo a los artículos allí, los dos primeros problemas siguen sin resolverse. OEIS secuencia A002496 listas de los elementos de la secuencia $\{n^2 +1 | n^2+1 = p\}$ con un comentario (en 2001) de que la secuencia se conjetura, pero no demostrado ser infinito.
Especialistas en las preguntas 1, 2, y 4 puede abordar la cuestión de los "últimos avances" con respecto a estos. Las mismas preguntas pre-fecha de Landau de la discusión. De acuerdo a Pintz, a continuación, el "gemelo primer" conjetura podría datar de la época de Euclides. Hay cientos de papeles que se ocupan de estas cuestiones. Son fáciles de entender, pero muy difícil de probar.
Legendre de la conjetura sigue sin demostrarse. Documentos por Ingham (1937) y Cheng (2010) demuestran que existe una privilegiada entre el $n^3$ $(n+1)^3,$ y una 1975 papel por Chen demuestra que existe un primer o un cuasi-prime en la plaza de los intervalos. Hay docenas de otros papeles con buenos resultados acerca de los números primos (tipo de) intervalos pequeños, pero la plaza de intervalos actualmente están fuera de su alcance.
Las preguntas 3 y 4 no son ajenos, ya que una secuencia del tipo en cuestión 4 no inciden en una (hipotética) contable de la secuencia del primer libre de la plaza de los intervalos.
Mientras que sólo he empezado a leerlo, es un reconocido estudio de Landau problemas en: Janos Pintz, Landau Problemas en números Primos, Diario de theorie des nombres de Burdeos, 2009.
[Mi pc me está dando un "procesamiento matemático de error", así que me estoy dejando la respuesta aquí. Ediciones invitados. Se añade a esto si el reinicio se soluciona.]
