Encontrar intervalos no compactos, no conectados

Question

Se da la siguiente situación:

Para $\mathbb{R}$ consideramos a la familia $\mathcal{S}$ de subconjuntos formados por todos los intervalos de tipo $(m,M)$ con $m<M<0$ todos los intervalos de tipo $(m,M)$ con $0<m<M$ (ambos $m,M\in\mathbb{R}$ ) y el intervalo $[-1,1)$ . Denotamos por $\mathcal{T}$ la topología más pequeña en $\mathbb{R}$ que contiene $\mathcal{S}$ .

Ahora tengo que encontrar un intervalo de tipo $[a,b]$ con la propiedad de que, junto con la topología inducida de $(\mathbb{R},\mathcal{T})$ no es compacto.

También tengo que encontrar un intervalo de tipo $(a,b)$ con la propiedad de que, junto con la topología inducida de $(\mathbb{R},\mathcal{T})$ no está conectado.

Ya encontré la base de esta topología, que es $$ \mathcal{B}=\mathcal{S} \cup \{[-1,M): M\in \mathbb{R}, -1<M<0\}.$$

¿Puede alguien ayudarme? Muchas gracias.

Answer 1

Para un intervalo abierto que no puede ser compacto bajo $(\mathbb{R},\mathcal{T})$ , mire $U = [a,-1]$ con $m < a < -2$ . Entonces defina $A_{n} = (m, -1 - \frac{1}{n}), n \in \mathbb{Z}^{+}$ . Entonces $\bigcup_{n}A_{n} \cup [-1, 1)$ portada $U$ pero no contienen ninguna subcubierta finita.

Para ese intervalo que no se puede conectar, mira $V = (a, 1)$ . Simplemente tome $a = m, M = -1$ para $m<M<0$ . Entonces $(m, -1) \cup [-1,1)$ constituyen una separación abierta de $V$ .