Then

Question

Me encontré con el siguiente problema por primera vez. Hice una prueba para ella. Voy a estar agradecido si yo sé que es correcto o no. Gracias.

$p$ es un primer e $H$ $p$- subgrupo de un grupo finito $G$ tal que $p\mid [G:H]$ . Demostrar que $p\mid [N_G(H):H]$.

Asumo $|G|=p^\alpha m, (p,m)=1$$|H|=p^\beta, \beta\lneqq\alpha$. De acuerdo a del teorema de Sylow, hay un $p$-subgrupo de sylow de $G$ $H$ como un subgrupo, decir $K$. Veo que $H<K$ $\mathrm{so^{(1)}}$ un teorema me dice $H<N_G(H)$ o $p\mid [N_G(H):H]$.

(1): una Vez $H<K$, de acuerdo con un teorema, $H<N_K(H)$. Pero obviamente, $N_K(H)\leq N_G(H)$$H<N_G(H)$, lo que significa que $p\mid [N_G(H):H]$.

Answer 1

Es correcto. Eso es exactamente lo que pensé antes de leer su solución.

Lo importante en su solución es el lema que dice "Non-Sylow$p$ - los grupos crecen en sus normalizadores".

Answer 2

Aún más es cierto: en general, si$H$ es un$p$ - subgrupo de$G$ entonces$[G:H] \equiv [N_G(H):H]$ mod$p$. Vea por ejemplo http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/sylowpf.pdf para una prueba. La prueba no es difícil y depende de la acción de$H$ en el espacio coset izquierdo$G/H$ por multiplicación a la izquierda.

Answer 3

Definir una acción de H en el conjunto de cosets de H en G por multiplicación. Entonces, a partir de la ecuación de clase deducimos que$|G:H| \equiv |K| +\Sigma |O_i| \pmod p$, donde$K$ es el conjunto de puntos fijos, y$O_i$ son órbitas de órdenes mayores que 1. Pero$|O_i|=|H|/|S_i|$, donde $S_i$ Es el estabilizador de un elemento en$O_i$, así$p$ divide$|O_i|$ y luego$|G:H| \equiv |K| \pmod p$. Sin embargo,$|K|$ es sólo$|N_GH:H|$, por lo que el resultado sigue.

Answer 4

$H$Es$p$ - subgrupo y$p|[G\colon H]$ significa $H$ es el subgrupo apropiado de Sylow % %. Ahora, en el Sylow -$p$ subgrupo$G$,$K$ es normalizado por algún elemento fuera de$p$; De ahí$K$, y esto implica su conclusión.