La idea de método de continuación analítica para resolver la ecuación de Klein-Gordon, ¿cómo y por qué?

Question

Por simplicidad, vamos a considerar dos dimensiones de la versión de Klein-Gorden ecuación: $$ (\partial_t^2-\partial_x^2-\partial_y^2+m^2) G(\vec{x},t) = -\delta(\vec{x})\delta(t) $$

A partir de los posts anteriores:

• Cómo obtener la forma explícita de la función de Green de la de Klein-Gordon ecuación?

• ¿Cómo puedo Derivar la Función de Green para $\nabla^2 + m^2$ $d$ dimensiones?

tanto las respuestas sugieren la continuación analítica y sobre todo seguir la respuesta dada por @Sean Lago, podemos resolver esta ecuación simplemente analítico seguir a una conocida ecuación, a continuación, convertir la espalda.

intento 1

Aquí está el esquema del procedimiento:

1. deje $t\to iz', x\to x', y\to y'$, tenemos $lhs=-(\nabla'^2-m^2)G$, $rhs=-\delta(iz')\delta(x')\delta(y')=i\delta(\vec{r}')$. La ecuación ahora lee: $$ (\nabla'^2 m^2)G=-i\delta(\vec{r}') $$

2. La ecuación anterior es la proyectó Poission ecuación, la solución se puede obtener fácilmente como: $$ G=\frac{i\,e^{-mr"}} {4\pi r'} $$

3. Convertir de nuevo el uso de $z'\to -it, x'\to x, y'\to y$, tenemos: $$ G=\frac{i\, e^{-m\sqrt{x^2+y^2-c^2}}}{4\pi\sqrt{x^2+y^2-c^2}} $$ para $x^2+y^2>t^2$.

4. al $t^2<x^2+y^2$, podemos analíticamente continuar: $$ G=\frac{e^{-im\sqrt{t^2-x^2-y^2}}}{4\pi\sqrt{t^2-x^2-y^2}} $$ donde hemos usado la $\sqrt{-1}=i$.

Dos pregunta sobre el procedimiento anterior:

pregunta 1: ya que se puede cambiar a $t\to -iz'$, del lado izquierdo de la ecuación sin cambios, mientras que el lado derecho de la ecuación tiene un signo negativo, debido a: $rhs=-\delta(-iz')\delta(x')\delta(y')=-i\delta(\vec{r}')$, por lo tanto, la respuesta final se diferencian por un total de signo menos!

pregunta 2: en el paso 4, se han utilizado ese $\sqrt{-1}=i$, pero lo que si puedo usar $\sqrt{-1}=-i$, parece que se va a llevar a: $$ G=-\frac{e^{im\sqrt{t^2-x^2-y^2}}}{4\pi\sqrt{t^2-x^2-y^2}} $$ al $t^2>x^2+y^2$.

intento 2

el contorno:

1. deje $t\to z', x\to ix', y\to iy'$, tenemos $lhs=(\nabla'^2+m^2)G$, $rhs=-\delta(z')\delta(ix')\delta(iy')=\delta(\vec{r}')$. La ecuación ahora lee: $$ (\nabla'^2+m^2)G=\delta(\vec{r}') $$

2. la ecuación anterior es la Helmholz ecuación, la solución es: $$ G=-\frac{e^{imr'}}{4\pi r'} $$

3. Convertir de nuevo, tenemos $$ G=-\frac{e^{im\sqrt{t^2-x^2-y^2}}}{4\pi\sqrt{t^2-x^2-y^2}} $$ al $x^2+y^2<t^2$.

4. al $x^2+y^2>t^2$, nos analítica seguir los resultados, obtenemos: $$ G=i\frac{e^{im\sqrt{x^2+y^2-c^2}}}{4\pi\sqrt{x^2+y^2-c^2}} $$ hemos utilizado $\sqrt{-1}=i$.

5. Si utilizo $\sqrt{-1}=-i$, luego al $x^2+y^2>t^2$, tenemos: $$ G=-i\frac{e^{-im\sqrt{x^2+y^2-c^2}}}{4\pi\sqrt{x^2+y^2-c^2}} $$

intento 2 tiene el mismo problema que prestar atención 1. También, los dos intentos consistentes?

En resumen, estoy confundido acerca de la idea de analítica continuación aquí, que manera de hacer y por qué hacerlo es mi pregunta. En mi punto de vista, la sustitución anterior puede no ser del todo correcta, debe haber algún punto me perdí por el sin sentido de la sustitución de variables.

De hecho, recuerdo que la solución a la ecuación de Helmholtz tiene dos soluciones, que son: $G=-\frac{e^{\pm imr'}}{4\pi r'}$, similares a los Examinados ecuación de Poisson creo. Esto podría conducir a más complicaciones (resultados).

Answer 1

Tengo la sensación de que el problema viene de la forma en la que escoja una solución a la ecuación de Poisson. En su intento 1, que afirman que la solución es $$G=\frac{i\,e^{-mr'}}{4\pi r'}$$ pero vosotros, como bien han afirmado que se trata de $$G=\frac{i\,e^{mr'}}{4\pi r'}$$ debido a $m^2 = (-m)^2$ (la ecuación de Poisson ignora si usted escoge $m$ o $-m$). La elección de la física de la solución se determina por la Sommerfeld condición, es decir, el comportamiento de la solución en el infinito. Una vez que esta elección se realiza de un modo coherente a lo largo de su cálculo, debe deshacerse de cualquier contradicción. Tenga en cuenta que yo no emplean la palabra "analítica de continuación" cuando se cambia la señal de de $r$$\sqrt{r}$, la función de la raíz cuadrada de no ser analítico en $0$.

Answer 2

Usted tiene un error en el intento 1. Vamos a ser explícito acerca de los pasos: $$\begin{array}{lrl} & \left[\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + m^2\right] G(r, t) & = \delta(t) \delta(\mathbf{r}) \\ t\rightarrow iz' \Rightarrow & \left[-\frac{\partial^2}{\partial z'^2} - \nabla^2 + m^2\right] G(r, t) & = \delta(iz') \delta(\mathbf{r}) \\ & \left[-\nabla'^2 + m^2\right] G & = \frac{\delta(\mathbf{r}')}{i} \\ & \left[\nabla'^2 - m^2\right] G & = i\delta(\mathbf{r}') \end{array}$$

Lo que esto hace es que pone a la oscilante de la parte de la espalda, que es donde pertenece - en el interior de el hacia adelante y hacia atrás conos de luz, dejando a la forma exponencial amortiguado partes en el espacio-como separados de la región. Tenga en cuenta que, $$\frac{\operatorname{e}^{-mr}}{4\pi r} = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{m}{r}} K_{1/2}(mr),$$ de acuerdo con la fórmula presentada en mi post.

Para intentar 2, donde analíticamente continuar con el espacio real de las variables, sí, la ecuación de Helmholtz ha entrante y saliente de onda de soluciones. En este caso se puede resolver el problema por el que requiere la función de Green para ir a cero, como se $r\rightarrow \infty$ después de girar de nuevo.

En ambos casos, usted debe encontrar que usted tiene exponenciales con argumentos reales, al $x^2 + y^2 > t^2$, y el imaginario de los argumentos de otra manera. Si usted consigue algo más es porque has cometido un error en el álgebra en algún lugar.