La Paradoja de Russel, mostrando$X=\{x|x\notin x\}$ no puede existir no es muy difícil. Si$X \in X$, entonces$X \notin X$ por definición, en el otro caso,$X \notin X$, entonces$X \in X$ por definición. Ambos casos son imposibles.
¿Pero qué hay de cosas enteras$X=\{x|x=x\}$? $X \in X$ Probablemente causa el problema, pero no sé por qué la violación del axioma de la fundación en la clase adecuada es problema.
Porque en presencia del Axio de Separación (o Axioma de Especificación ), si el "conjunto universal"$V = \{ x \mid x=x \}$ existe, podemos tener:
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Y$R = \{ x \mid x \in V \land x \notin x \}$ es el conjunto "ilegal" de Russell.
El teorema de Cantor dice que para cualquier conjunto$Y$, el conjunto de energía de$Y$ es estrictamente mayor que$Y$. Pero$X$ contiene todos los elementos de cualquier conjunto, y por lo tanto es por lo menos tan grande como cualquier conjunto, incluyendo su propio conjunto de potencia, dando la contradicción $$ \ mathcal P (X) \ le X <\ mathcal P ( X) $$
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