Sea$a,b,c$ reals no negativo, y$k$ es la mejor constante posible Probar la desigualdad

Question

Sea$a,b,c$ números reales no negativos. Pruebalo

ps

Donde$$a^3+b^3+c^3-3abc\geq k|(a-b)(b-c)(c-a)|$ y que$k=\left(\frac{27}{4}\right)^{1/4}(1+\sqrt{3})$ es la mejor constante posible.

No estoy seguro de cómo probar esta desigualdad, no he tratado con un tipo de desigualdad que incluya una mejor constante posible$k$.

Cualquier ayuda para resolver y entender esto sería muy apreciada.

Answer 1

El problema se reduce a minimizar: $$ R(a,b,c)= \frac{a^3+b^3+c^3 - 3 a bc }{(b-a)(c-b)(c-a)} $$ en el set $0\leq a <b< c$. La derivada direccional: $$ \frac{d}{dt}_{|t=0} R(a+t,b+t,c+t)= \frac{3}{2}\frac{(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2 }{(b-a)(c-b)(c-a)} $$ is non-negative so any minimum must occur for $un=0$. By homogeneity we may assume $c=1$. So we are reduced to minimizing for $0<b<1$: $$ R(0,b,1)=\frac{1+b^3}{(1-b)b} .$$ Y esto sucede (conjunto derivado=0) cuando $$0=b^4-2b^3-2b+1=(b^2-(1+\sqrt{3})b+1)(b^2-(1-\sqrt{3})b+1)$$ Sólo el primer factor tiene raíces reales de que: $$ b=\frac{1+\sqrt{3}}{2}- \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ \ \a la izquierda( \ \mbox{y} \ \ \ \frac{1}{b}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+ \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right)$$ La inserción en el anterior se obtiene (después de la reducción) de la citada constante $k$. Para ver esta nota que: $$ (1-b) \left[ (1-b)(1+b^2) \right] =(1-b)^2(1+b^2) = 1-2b+2b^2-2b^3+b^4 = 2 b^2$$ (usar ese $b$ es la raíz de la 4-esima de grado del polinomio anterior). Usando también se $1+b^3=(1+b)(1-b+b^2)=(1+b) \sqrt{3} b$ obtenemos el valor mínimo: $$ \frac{1+b^3}{b(1-b)} = \frac{(1-b)(1+b^2) (1+b)\sqrt{3}}{2 b^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( \frac{1}{b}+b\right) \left( \frac{1}{b} - b\right)=\sqrt{3} \left( 1+ \sqrt{3}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Answer 2

A la izquierda y a la derecha expresiones son no-negativos (AM-GM).

La adición de $X$ a cada variable no cambia el lado derecho, pero el lado izquierdo aumenta por $3(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)X$ que tiene el mismo signo de $X$ (a menos que $a=b=c$, en cuyo caso la desigualdad se cumple para cualquier $k$).

Por lo tanto, teniendo en $X$ negativo a cambio de las tres variables hacia abajo hace que la desigualdad sea más nítida y la crítica de los casos son al $abc=0$. Dado que la reducción, el resto es la rutina de cálculo.

Deje $c=0$. Ahora queremos saber que $k$ han

$a^3 + b^3 \geq k|ab(a-b)|$.

Este es simétrica y homogénea para WLOG tome $b=1$$a > b$. El óptimo $k$ es el mínimo de $K(t) = (1+t^3)/t(t-1)$$t>1$,$\sqrt{9 + 6 \sqrt{3}}$, igual al valor dado en la pregunta.

Hay un par de igual mínimos debido a $K(t) = K(1/t)$, a partir de la simetría de $a$$b$.

Answer 3

Sin pérdida de generalidad, vamos$a\geq b\geq c\geq 0$. Escribe$x:=a-b$ y$y:=b-c$. Entonces, debemos encontrar el$k\geq 0$ mayor que$$(x+2y+3c)\left(x^2+xy+y^2\right)\geq k\,xy(x+y)\,.$ $ Tenga en cuenta que necesitamos$$(x+2y)\left(x^2+xy+y^2\right) \geq k\,xy(x+y)$ $ para todos$x,y\geq 0$ (tomando$c=0$). Si$x=0$ o$y=0$, entonces la desigualdad anterior es trivial para cualquier$k\geq 0$. Al establecer$t:=\frac{x}{y}$ cuando$x,y>0$, vemos que$k$ debe satisfacer$$k\leq \frac{(t+2)\left(t^2+t+1\right)}{t(t+1)}$ $ para todos$t>0$. Es decir, el mayor$k$ sería$$k_\max=\inf\Biggl\{\frac{(t+2)\left(t^2+t+1\right)}{t(t+1)}\,\Big|\,t>0\Biggr\}\,.$ $ El resto debería ser fácil.