Cómo encontrar números irracionales entre racionales. (¿Y mi método es correcto?)

Question

Tengo una pregunta de un libro de revisión de nivel A:

Encuentra un número irracional que se encuentre entre $\frac34$ y $\frac78$.

¿Cuál es el método correcto para hacer esto? Aquí está mi método:

1. Elevar al cuadrado numeradores y denominadores de las fracciones (en este caso: ambos).
2. Encuentra el MCD (Mínimo Común Denominador) para los denominadores y convierte todas las fracciones a este MCD.
3. Los numeradores de las fracciones son ahora cuadrados perfectos. Escribe una nueva fracción con un numerador que no sea un cuadrado perfecto y esté entre los numeradores originales de las fracciones.
4. Pon la nueva fracción dentro de una raíz cuadrada. La nueva fracción (dentro de un signo de raíz cuadrada) es ahora una raíz cuadrada, y un número irracional (también una fracción irracional).

Usando este método, $\sqrt{\frac{37}{64}}$ sería un número irracional entre $\frac34$ y $\frac78$.

Por favor avísame si he cometido algún error evidente de lógica. Si estoy en lo correcto, una fracción con un numerador irracional (raíz cuadrada) es en sí misma un número irracional. Y los números que no son cuadrados perfectos son todos irracionales. Por lo tanto, una fracción con un numerador irracional es irracional. (Disculpen si no estoy usando todos los términos correctos todavía).

Muchas gracias de antemano

PD. Quiero asegurarme de que entiendo correctamente estos conceptos relativamente básicos. (Pido disculpas de antemano si he cometido un error de estudiante o un error estúpido. Estoy tratando de tomar los exámenes de matemáticas de nivel A en casi 4 meses, la razón es una historia bastante larga, y estoy repasando toda mi matemática que hice en la escuela. Me fue bien en matemáticas en GCSE, aunque fue el nivel intermedio no el superior, y estoy considerando repasar todas las matemáticas de nivel A en poco más de 3 meses para tomar exámenes que comienzan a mediados de mayo.)

Answer 1

Estás complicando esto más de lo necesario. Si $p,q$ son dos números racionales distintos, entonces $$p + \frac {q-p}{\sqrt 2}$$ es un número irracional entre $p$ y $q$.

Answer 2

Esta es una forma correcta de resolver el problema, y esta técnica funciona en general.

Otra técnica es tomar algún número irracional (tal vez $\pi$) y dividirlo por un número racional tan grande que el cociente sea pequeño (en comparación con la diferencia entre los números que quieres limitar). $\pi$ está entre $3$ y $4$, por lo que $$\frac{1}{100}<\frac{\pi}{300}<\frac{1}{75}$$ lo cual es más pequeño que $\frac{7}{8}-\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$. Por lo tanto, $\frac{3}{4}+\frac{\pi}{300}$ cae dentro del rango que deseas.

Dado que el producto de un número racional y un número irracional es irracional, y la suma de un número racional y un número irracional es irracional, esto también es irracional. Este método es muy rápido para encontrar respuestas, porque es fácil elegir denominadores enormemente grandes. Por ejemplo, dividir $\pi$ por $2^x$ donde $x$ es el denominador más grande siempre funcionará.

EDICIÓN: como señala un comentario, hay razones para preferir $\sqrt{2}$ a $\pi$ aquí, en caso de que te pidan demostrar que el número es irracional. Cualquier número irracional funcionará con este método, solo se trata de asegurarse de poder demostrar fácilmente que el número que se obtiene es irracional. El comentario sobre $2^x$ todavía se aplica para $\sqrt{2}$, pero si estuvieras usando un número irracional más grande, quizás tendrías que elegir una base más grande que $2$. $\lceil \alpha\rceil$ debería funcionar como una base para cualquier $\alpha$ irracional mayor que $1$

Answer 3

Sea $0

¿Es $\sqrt{ab}

Consecuentemente $a<\sqrt{ab}

Cuando $a=\frac34$ y $b=\frac 78$, el número $\sqrt{ab}=\sqrt{\frac{21}{32}}$ es irracional y $\frac 34<\sqrt{\frac{21}{32}}<\frac78$ como se puede ver fácilmente.

Answer 4

Vamos, es más fácil que eso. Simplemente interpola (una generalización de lo que @TonyK ha hecho). Si $a$ y $b$ son racionales distintos, entonces $a-b$ también es racional, y racional $\times$ irracional = irracional, por lo que cualquier número irracional $r\in (0,1)$ hará que lo siguiente sea irracional: $$c=a(1-r) + br$$ Claro, puedes elegir $r=1/\sqrt2$. Pero cualquier irracional entre 0 y 1 sirve. Y este procedimiento no corre el riesgo de golpear accidentalmente un número racional - no puedes. No hay condiciones sobre $a$ y $b$ aparte de que deben ser racionales.

Answer 5

Aunque esto no es adecuado para tareas intensivas en tiempo, hay una curiosidad matemática tangencialmente relacionada:

Para cualquier par de números reales $x < y$ existen dos enteros $a$ y $b$ tales que $$x < a + b\sqrt{2} < y.$$

Para ver por qué esto funciona, considera $$x < m\cdot(-1+\sqrt{2})^n < y$$ para algún número natural $n$ y entero $m$. Observa que al hacer $n$ grande, la expresión entre paréntesis puede ser tan pequeña como queramos (es decir, estrictamente más pequeña que $y-x$), y luego es suficiente ajustar $m$ para colocar el número entre $x$ y $y. En términos elegantes, $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es denso en $\mathbb{R}$.

En tu caso $\frac{3}{4} < -2+2\sqrt{2} < \frac{7}{8}.

Espero que esto ayude $\ddot\smile$