Cómo mostrar $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n+b^n}=\max \{a,b\}$ ?

Question

Sea $a\geq 0$ y $b\geq 0$ . Demostrar que $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n+b^n}=\max \{a,b\}$ .
[Pista: Utiliza la identidad $(a^n -b^n)=(a-b)(\sum_{i=0}^{n-1}a^ib^{n-1-i})$ ]

¡Necesito ayuda! No puedo hacerlo incluso con la pista... :(

Answer 1

Pista: $$\max\{a,b\} \leq \sqrt[n]{a^n+b^n} \leq \sqrt[n]{2\max\{a,b\}^n} = 2^{1/n}\max\{a,b\}$$ y hacer $n \to +\infty.$ Aquí es una versión un poco más general de este resultado.

Answer 2

Supongamos sin pérdida de generalidad $a > b$ . Entonces usted consigue

$$\sqrt[n]{a^n+b^n} = \sqrt[n]{a^n\cdot(1 + \frac{b^n}{a^n})} = a\cdot \sqrt[n]{(1 + \frac{b^n}{a^n})},$$

concluya ahora el límite utilizando que $(\frac{b}{a})^n$ tiende a $0$ para $n\to \infty$ .

Answer 3

Pista :suponer $a\geq b$ , $n$ es impar $$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}+a^{n-2}b^1+a^{n-3}b^2+...+b^{n-1})\\(a+b)(a^{n-1}+a^{n-2}a^1+a^{n-3}a^2+...+a^{n-1})\\\leq(a+a)(na^{n-1})=2na^n\\\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}\leq \sqrt[n]{2na^n}\rightarrow a$$