¿Un isomorfismo envía algún elemento a uno de sus elementos de conjugación?

Question

Si$G$ es un grupo finito,$f$ es un isomorfismo de$G$ a$G$, st para cualquier$x \in G$, existe$y \in G$ y $f(x)=yxy^{-1}$ (Observe el orden de los cuantificadores), es$f$ un isomorfismo interno?

Answer 1

Tal automorfismos también son conocidos bajo el nombre de Casi-interior de automorfismos. Este concepto se remonta a Burnside para grupos finitos y, posteriormente, se ha estudiado en la pregunta "¿Puedes oír la forma del tambor" para isospectral pero no isométricos $G/\Gamma$, con un solucionable o nilpotent Mentira grupo $G$ con discretos cocompact subgrupo $\Gamma$, y casi el interior de automorfismos de a $G$, los cuales son no interior. Para una encuesta de ver la introducción en nuestro papel Casi-interior derivaciones de álgebras de Lie.

En el grupo finito caso, la anterior tesis de Potter da ejemplos de grupos de la admisión de los no-interior casi interior de automorfismos, por ejemplo, Burnside del grupo. En el último capítulo, Potter también se describe cómo obtener un límite inferior en el número de isospectral nonisometric superficies de Riemann.