¿Cómo probar la mínima de un polinomio mínimo?

Question

Tengo un problema: encontrar el polinomio mínimo de$\sqrt 2+\sqrt 3$ sobre$\mathbb Q$

Puedo calcular la respuesta, es decir,$x^4-10x^2+1$, pero ¿cómo puedo probar la mínima? ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Insinuación; $\sqrt 2+\sqrt 3 \in \mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)$, Que tiene grado$4$ sobre$\mathbb Q$. Por lo tanto, el grado de cada elemento es$1$,$2$, o$4$. Demuestre que$\sqrt 2+\sqrt 3$ no tiene grado$1$ o$2$. (Use que$\sqrt 2$ y$\sqrt 3$ son linealmente independientes sobre$\mathbb Q$.)

Answer 2

$$(a+b+c)\prod_{cyc}(a+b-c)=\sum_{cyc}(2a^2b^2-c^4).$ $ Para$a=\sqrt2$,$b=\sqrt3$% #% Es irreducible sobre$c=x$

Y$$2(6+2x^2+3x^2)-4-9-x^4=0,$.

Answer 3

Es suficiente para explotar un poco de álgebra lineal. Tenemos que $\alpha^2-2\in\mathbb{Q}[\alpha]$ es el polinomio mínimo de a $\sqrt{2}$ $\mathbb{Q}$ $\beta^2-3\in\mathbb{Q}[\beta]$ es el polinomio mínimo de a $\sqrt{3}$. Una base del ring $\mathbb{Q}[\alpha,\beta]/(\alpha^2-2,\beta^2-3)$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ está dado por $1,\alpha,\beta,\alpha\beta$, y podemos representar cada polinomio $(\alpha+\beta)^n$ con respecto a una base de estas: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\text{Polynomial}&1&\alpha&\beta&\alpha\beta\\ \hline (\alpha+\beta)^0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline (\alpha+\beta)^1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline (\alpha+\beta)^2 & 5 & 0 & 0 & 2 \\ \hline (\alpha+\beta)^3 & 0 & 11 & 9 & 0 \\ \hline (\alpha+\beta)^4 & 49 & 0 & 0 & 20 \\ \hline \end{array}$$ Dado cinco vectores en $\mathbb{Q}^4$, siempre hay un no-trivial combinación lineal de ellos que es igual a cero.
En el presente caso la quinta fila menos diez veces la tercera fila, además de la primera fila da cero, por lo tanto $z^4-10z^2+1$ es un polinomio que se desvanece en $\alpha+\beta$. Que es el polinomio mínimo de a $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\mathbb{Q}$ debido a que la matriz de $$ M=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 11 & 9 & 0\end{pmatrix}$$ es invertible, por lo tanto no hay ninguna no-trivial polinomio en $\mathbb{Q}_{\leq 3}[x]$ de fuga en $\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

Answer 4

Dejar $y = (x-1)$. Entonces$x = y+1$ y por lo tanto su polinomio puede ser expresado como un polinomio en$y$, que es irreducible por el criterio de Eisenstein usando el%% primordial #%, y por lo tanto su polinomio es también irreducible. Por supuesto, la prueba general de la independencia lineal (como se menciona por lhf ) es el camino a seguir si se quiere el resultado general de que la suma de raíces cuadradas de primos genera toda la extensión de campo.