Ayudar a encajar un reclamo similar en Farka ' lema s.

Question

He encontrado la siguiente implicación de Farka del lexema en Wikipedia,

Si $Ax \le b$ no tiene solución, entonces no existe $y$ tal que $y^TA=0,y^T=-1$.

El reclamo queremos mostrar es similar, pero un poco diferente (ver "previamente se ha pedido" a continuación para más información).

Si el sistema es de $A_1x \ge 0, ..., A_Nx \ge 0, f^Tx=1$ no tiene solución,entonces no existe vectores $y_1,...,y_N$ y un número real $\mu > 0$ s.t. $y_1^TA_1+...+y_N^TA_N+\mu f=0$

Tengo problemas completamente ajustan a este reclamo por encima de implicación de Farka del lexema. Por favor, ayudar.

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Previamente le preguntó:

Ver el siguiente. Alguien puede ayudar punto de qué versión de Farka del lexema es el uso?

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Puedo consultar mi libro de texto y encontrar toda mención de Farka del lema, pero tengo problemas para que coincida con la demanda de la prueba.

Answer 1

La última imagen "de la Proposición 5.1.2 (b)" es exactamente para su problema. Establece un "si y sólo si" condición para la existencia de solución, y podemos derivar la negación (la negación de la proposición $p \to q$$p\wedge \neg q$):

El sistema de $Ay\ge c$ no tiene solución si y sólo si existe una $x$ tal que $A^Tx=0,x\ge0$$c^Tx>0$.

O, equivalentemente,

El sistema de $Ax\ge b$ no tiene solución si y sólo si existe una combinación lineal $y$ tal que $y^TA=0,y\ge0$$y^Tb>0$.

Vamos a reescribir $A_1x \ge 0, ..., A_Nx \ge 0, f^Tx=1$ en un solo sistema ${\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}} \\ \vdots \\ {{A_N}} \\ {{f^T}} \\ { - {f^T}} \end{array}} \right)_.}x \geqslant {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ { - 1} \end{array}} \right)_.}$

No tiene solución, es decir, no existe una combinación lineal $y$ tal que

${y^T}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}} \\ \vdots \\ {{A_N}} \\ {{f^T}} \\ { - {f^T}} \end{array}} \right)_.} = 0,y \geqslant 0,{y^T}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ { - 1} \end{array}} \right)_.} > 0$

Esto conduce fácilmente a la (11) en su problema dejando $\mu$ ser la resta de los dos últimos componentes de $y$, y dejando $\lambda_{ip}$ otros componentes de $y$. Q. E. D.