Subespacio denso de $L^p$

Question

Trabajando en un problema más amplio relacionado con el análisis armónico me he encontrado con esta cuestión de teoría de la medida. Supongamos que $\varphi$ es una función medible en $U$ y $f \in L^p(U)$ . $\varphi$ no está necesariamente acotado, pero consideremos el conjunto $$\{ f \in L^p(U) \ : \ \varphi f \in L^p(U) \}.$$

¿Cómo puedo demostrar que este espacio es denso en $L^p$ ?

Si consideramos que $f \cdot \chi_{\{ \left| \varphi \right| \leq N\} } \to f$ en $L^p$ ¿puede esto ayudarnos?

Answer 1

Su idea de utilizar $f\cdot \chi_{\{|\varphi|\leq N\}} \to f$ en $L^p$ es un buen punto de partida.

Denotamos el conjunto en cuestión con $$ A= \{f\in L^p(U) : \varphi f \in L^p(U) \}. $$

Entonces $g\cdot \chi_{\{|\varphi|\leq N\}}$ está en $A$ para todos $g\in L^p(U)$ . De hecho: $$ \int |\varphi g\chi_{\{|\varphi|\leq N\}}|^p \mathrm dx \leq \int | N g\chi_{\{|\varphi|\leq N\}}|^p \mathrm dx \leq N^p \| g\|_{L^p(U)}. $$

Ahora dejemos que $f\in L^p(U)$ sea dado arbitrariamente. Entonces $f\cdot \chi_{\{|\varphi|\leq N\}} \to f$ en el $L^p(U)$ -norma. (Esto se debe a que la medida de $\{\varphi>N\}$ va a $0$ como $N\to \infty$ ).

Por lo tanto, podemos aproximar $f$ con elementos en $A$ Así que $A$ es denso en $L^p(U)$ .