Composición de conjuntos con densidad superior positiva

Question

Deje que $A$ ser un conjunto de números enteros positivos $\{a_n: n \ge 1\}$ (en orden creciente) con una densidad superior positiva, es decir, $$ \limsup_ {n \to \infty } \frac {1}{n}|A \cap [1,n]|>0. $$ También $B=\{b_n: n \ge 1\}$ un conjunto de densidad superior positiva.

¿Es cierto que $\{a_{b_n}: n \ge 1\}$ tiene una densidad superior positiva?

Answer 1

Contra-ejemplo basado en mi respuesta a esta pregunta .

El conjunto $$A=(1!,2!] \cup (4!,\ 5!] \cup (7!,\ 8!] \cup (10!,\ 11!] \cup (13!,\ 14!] \cup\cdots $$ tiene una densidad superior $1$ ya que $$ \frac {|A \cap [1,\ (3n+2)!]|}{(3n+2)!} \ge\frac {(3n+2)!-(3n+1)!}{(3n+2)!}= \frac {3n+1}{3n+2} \to1. $$

El subconjunto $S \subset A$ definido por $$S=(4!,\ 4!+3!] \cup (7!,\ 7!+6!] \cup (10!,\ 10!+9!] \cup (13!,\ 13!+12!] \cup\cdots $$ tiene densidad $0,$ desde $$ \frac {|S \cap [1,\ (3n+1)!+(3n)!]|}{(3n+1)!+(3n)!}= \frac {3!+6!+ \cdots +(3n)!}{(3n+1)!+(3n)!} \lt\frac2 {3n+1} \to0. $$

Sin embargo, $S$ tiene una densidad superior $1$ en $A,$ desde $$ \frac {|S \cap [1,\ (3n+1)!+(3n)!|}{|A \cap [1,\ (3n+1)!+(3n)!|} \ge\frac {(3n)!}{(3n-1)!+(3n)!}= \frac {3n}{3n+1} \to1. $$

Espero que esto sea lo suficientemente bueno. Si insistes en ponerlo en tu horrible $a_n,b_n,a_{b_n}$ notación, me temo que se va a poner feo.