Resolver la ecuación a través de las desigualdades.

Question

Si $x^6-12x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+64=0$ tiene positivo raíces entonces encuentran $a,b,c,d$.

Hice algo que no merecen ser agregado aquí, pero después de lo que pensaba antes de hacerlo:

1. Para nosotros, se dan producto y suma de raíces.
2. Las raíces son positivas.
3. Por lo tanto, he intentado usar desigualdad de AM-GM-HM, como suma y producto se dan, pero no he logrado terminar algo bueno.

Así que por favor entregar sugerencias de alguna solución con respecto a las desigualdades de AM-GM-HM.

Answer 1

Uso de AM-GM en las raíces.

Decir $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ son las raíces de la ecuación.

Entonces $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6\geq 6(a_1\times a_2\times a_3\times a_4\times a_5\times a_6)^{1/6} $

Ahora $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=12$

Y también $6(a_1\times a_2\times a_3\times a_4\times a_5\times a_6)^{1/6}=12 $

Por lo tanto tiene la condición de igualdad de la desigualdad de AM-GM, que implica que todas las raíces son iguales, y sabes la suma de las raíces es $12$, por lo tanto, todas las raíces son iguales a $2$, ahora encontrar $a,b,c,d$.

Answer 2

Que $x_i$ ser nuestras raíces.

Ahora bien, de AM-GM $$2=\frac{\sum\limits_{i=1}^6x_i}{6}\geq\sqrt[6]{\prod_{i=1}^6x_i}=2,$ $ que dice que todas las $x_i=2$.

Thus, $$a=2^2\cdot\frac{6(6-1)}{2}=60,$$ $$b=-2^3\cdot\frac{6(6-1)(6-2)}{6}=-160,$$ $$c=2^4\cdot\frac{6(6-1)(6-2)(6-3)}{24}=240$$ and $$d=-2^5\cdot\frac{6(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)}{120}=-192.$$