Integral que evalúa a 42

Question

Sé que no es una pregunta específica de matemáticas, pero necesito ayuda para encontrar una integral que evalúe a 42 para una camisa de calc. Obviamente, me estoy esforzando por algo más complicado que $\int_{10}^{11} 4x dx$ o $\int_{0}^{42} 1 dx$ . Intenta ceñirte a los contenidos integrales que se cubrirían en el plan de estudios de calcografía de BC, porque es la clase para la que estoy intentando diseñar la camiseta. Gracias.

Answer 1

Una buena y sencilla es $$\int_0^\infty (2x^4-x^3)e^{-x}\, dx$$ Esto funciona, ya que para cualquier número natural $n$ , $$\int_0^{\infty} x^ne^{-x}\,dx = n!$$

Answer 2

Porque $42$ es el quinto número catalán entonces usando la conocida representación integral de los números de Catalán tenemos que

$$C_5=\frac1{2\pi}\int_0^4x^5\sqrt{\frac{4-x}x}\,\mathrm dx=42$$

Jugando con algún cambio de variable por encima puedes obtener diferentes expresiones integrales. Por ejemplo con el cambio de variable $(4-x)/x=t$ podemos construir la siguiente integral impropia

$$C_5=\frac{16}{\pi}\int_0^\infty\sqrt t\left(\frac12+\frac{t}2\right)^{-7}\mathrm dt=42$$

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Quizás se puedan conseguir representaciones integrales más interesantes considerando primero las representaciones integrales para $21$ , lo que es un número con más interés propiedades .

Answer 3

Puedes probar: \begin{align} \int^4_0 \frac{945 } {2(x^2+9)^{3/2} } dx \end{align}

Se puede resolver mediante una sustitución adecuada $x=a\tan z$ . O puedes probar: \begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{63 }{5\pi+4\pi\cos x}dx \end{align} Resuelto por $z=\tan(x/2)$

Creo que ambas técnicas se enseñan en el Cálculo BC.

Answer 4

Fracciones parciales para este... $\int_1^2 \frac{336}{\ln(\frac{5}{2}) x(x^2+4)} dx \\\ $

Hice trampa... jugué con los múltiplos constantes para obtener 42 para la respuesta de la integral definida. :p