La continuación de la fracción representación anterior tuvo sus orígenes en otro problema en el que estaba trabajando hace algún tiempo.
Se basa en una forma muy sencilla de ver la de Euler producto de la representación de $\frac{1}{\zeta(s)}$. Curiosamente esto se aplica a todos infinito producto.
Y este es el siguiente
$$
\frac{1}{\zeta(s)}=\left(1-\frac{1}{2^s}\right)-\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\frac{1}{3^s}-\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\frac{1}{5^s}-\cdots
$$
Desde aquí es fácil derivar la anterior continuó fracción mediante Euler continuo de la fracción de la fórmula.
Y eso es todo, Es agradable y, finalmente, una cosa nueva.
EDITAR
Sólo para que quede claro, tenga en cuenta que
$$
\begin{align*}
\frac{1}{\zeta(s)}&=\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left[\left(1-\frac{1}{3^s}\right)-\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\frac{1}{5^s}-\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\frac{1}{7^s}-\cdots\right]\\
&=\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left[\left(1-\frac{1}{5^s}\right)-\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\frac{1}{7^s}-\cdots\right]\\
&\vdots\\
&=\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)
\end{align*}
$$
donde $\mathbb{P}$ es el conjunto de los números primos.
EDITAR
Para derivar la continuación de la facción acaba de poner a $\frac{1}{\zeta(s)}$ en forma
$$
\frac{1}{\zeta(s)}=1-\frac{1}{2^s}\left(1+\frac{2^s-1}{3^s}\left(1+\frac{3^s-1}{5^s}\left(1+\frac{5^s-1}{7^s}\left(1+\frac{7^s-1}{11^s}\left(1+\ddots\right ) \right ) \right ) \right ) \right)
$$
y, a continuación, sólo hay que aplicar la de Euler continuó fracción de la fórmula.
