La cuestión aquí es ¿es muy complicado cada declaración, cuando formulado como una afirmación acerca de los números naturales (la hipótesis de Riemann se puede hacer en dicha declaración).
Para el propósito de esta discusión trabajamos en los números naturales, con $+,\cdot$ y la función sucesor, y los Axiomas de Peano será la base de nuestra teoría; así por "true" y "false", nos referimos en los números naturales y "comprobable", significa la Aritmética de Peano.
Vamos a decir que un enunciado es "simple" si en el fin de verificar, usted absolutamente seguro de que usted no tiene que comprobar todos los números naturales. (El término técnico aquí es "limitado" o "$\Delta_0$".)
Por ejemplo, "No es un número primo pequeño de $x$" es una declaración simple, ya que la verificación de si o no $n$ es el primer requiere sólo la comprobación de su divisibilidad entre los números de menos de $n$. Tan solo necesitamos comprobar los números por debajo de $x$ en el fin de verificar esto.
Por otro lado, "Hay un Fermat primer mayor que $x$" no es una simple declaración, ya que, posiblemente, este es falsa, pero sólo la comprobación de todos los números por encima de $x$ nos dirá la verdad de esta afirmación.
El truco es que un simple enunciado es verdadero si y sólo si es demostrable. Esto requiere un poco de trabajo, pero no es muy difícil de demostrar. Por desgracia, la mayoría de las preguntas interesantes que no puede ser formulado como simples declaraciones. Por suerte para nosotros, este "comprobable si y sólo si es verdadero" puede ser empujado un poco más.
Decimos que un enunciado es "relativamente sencillo" si tiene la forma "existe algún valor de a $x$ tal que conectarlo va a girar a la declaración de simple". (El término técnico es $\Sigma_1$ declaración).
Mirando hacia atrás, la declaración acerca de la existencia de un Fermat prime por encima de $x$ es de tal declaración. Porque si $n>x$ es una de Fermat primo, entonces el enunciado "$n$ es mayor que $x$ y un Fermat prime" es ahora sencillo.
Mediante una cuidada pequeño truco que nos puede mostrar que una relativamente simple declaración es verdadera si y sólo si es demostrable.
Y ahora viene la parte bonita. La hipótesis de Riemann puede ser formulado como la negación de un relativamente simple declaración. Así que si la hipótesis de Riemann es falsa, su negación fue comprobada, así que la hipótesis de Riemann sería rebatible. Esto significa que si usted no puede refutar la hipótesis de Riemann, que tiene que ser verdad. Lo mismo puede decirse de la conjetura de Goldbach.
Entonces, ambos, se podría volver a ser independiente, en el sentido de que no puede ser demostrado a partir de la Aritmética de Peano, pero si demostrar que son al menos consistente, entonces usted obtener inmediatamente que son verdaderas. Y esto nos daría una prueba de estas declaraciones de un más fuerte de la teoría (por ejemplo, la teoría de conjuntos).
También se puede pedir el mismo acerca de la doble primer conjetura. Pero esta conjetura no es más un relativamente simple afirmación ni la negación de uno. Por lo que la anterior no se aplica, y es factible que la conjetura es consistente, pero falso en los números naturales.
