Vamos a un $\mathcal R$ ser una familia de subconjuntos en $\Omega$ que es cerrado bajo finito de la unión y complemento relativo. Decimos que $\mathcal R$ es un anillo de conjuntos en $\Omega$. Simbólicamente, para cualquier $A,B\in\mathcal R$ hemos $$\begin{align} &1.)\quad A\cup B \in \mathcal R\\ &2.)\quad A\backslash B \in \mathcal R. \end{align}$$ De ello se desprende que $\mathcal R$ también es cerrado bajo diferencia simétrica $\Delta$ y finito intersección $\cap$, $(\mathcal R,\Delta,\cap)$ es un anillo en el sentido de álgebra abstracta.
Sin embargo, un semiring de conjuntos se define como una familia de $\mathcal S$ de los subconjuntos en $X$ tal que para cualquier $A,B\in\mathcal S$ $$\begin{align} &1.)\quad \emptyset \in\mathcal S \\ &2.)\quad A\cap B \in \mathcal S\\ &3.)\quad A\backslash B = \bigcup_{i=1}^n A_i\quad\text{for some disjoint}\ A_i\in\mathcal S. \end{align}$$
¿Cuál es la relación entre un semiring de conjuntos y un semiring en el álgebra abstracta sentido?
$\mathcal S$ no está aún cerrado bajo $\Delta$, por lo que no podemos pensar en él como un semiring $(\mathcal S,\Delta,\cap)$ donde $(\mathcal S,\Delta)$ es un conmutativa monoid.
Me etiqueten teoría de la medida debido a que esta estructura es la que comúnmente se encuentran en un capítulo introductorio sobre la construcción de la medida de Lebesgue en $\Bbb R^n$. $\mathcal S$ es la familia de $n-$dimensiones de los intervalos de la forma $[a,b)$.
