¿Por qué utilizamos la noción de "espectro" en análisis funcional y geometría algebraica? ¿Hay cualquier analogías?
Respuesta
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La principal diferencia es que en el Análisis Funcional el "Espectro" es la familia de los máximos ideales de un anillo, mientras que en la Geometría Algebraica, como Grothendieck definido, el Espectro de $Spec(A)$ de un anillo conmutativo con unidad, se define como el espacio (topoogical espacio natural con la topología de Zariski) cuyos puntos son el primer ideales del anillo. En particular, ya que todos los máximos ideales son principales, pero no viceversa, hay en el $Spec(A)$ (a la manera de Grothendieck), puntos en los que no se cierra, es decir, todos los puntos representados por aquellos ideales que son primos, pero no máxima. Mientras que el espectro en el Análisis Funcional, todos los puntos están cerrados, haciendo que la topología de Gorthendieck Espectro de la $Spec(A)$ mucho más interesante que la topología de la Gelfand espectro en el Análisis Funcional.
En realidad, fue uno de los más grandes descubrimientos de Alexander Grothendieck, para darse cuenta de que una buena definición del Espectro en la Geometría Algebraica tuvo que encerrar todo el primer ideales y no sólo la máxima ideales como en el Análisis Funcional, y así habría sido bastante más general. Es importante entender que Grothendieck comenzó su carrera precisamente en el Análisis Funcional.
