Es $f$ surjective, donde $|f(x)-x| \leq 2$ ?

Question

Dejemos que $f$ sea continua y $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ .

Supongamos que $|f(x)-x| \leq 2$ es válida para todos los $x$ . Es $f$ ¿subjetivo?

Answer 1

Una prueba de homotopía (esquema.) No estoy seguro de cómo hacerlo sólo con el análisis.

Supongamos que $x_0\in\mathbb R^2$ no está en el rango de $f$ . considerar $S=\{x\in\mathbb R^2: \left|x-x_0\right|=3\}$ sea el círculo de radio $3$ alrededor de $x_0$ .

Entonces $f:S\to\mathbb R^2\setminus\{x_0\}$ es homotópico con el mapa de inclusión $S\to\mathbb R^2\setminus\{x_0\}$ pero el mapa: $h(x,t) = tx + (1-t)f(x)$ , que nunca llega a $x_0$ por la regla $|f(x)-x|\leq 2$ .

Pero la función $f$ se extiende hasta el balón $B=\{x:|x-x_0|\leq 3\}$ lo que significa que $f_{|S}$ se retrae a una función constante como un mapa a $\mathbb R^2\setminus\{x_0\}$ . Pero el mapa de inclusión en $S$ no se retrae a un punto, lo cual es una contradicción.

Así que nuestra suposición es falsa.

Básicamente, se trata de una propiedad que es un teorema del valor intermedio multidimensional. Si un continuo $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ envía algún círculo a una trayectoria que "serpentea" un número total de veces distinto de cero alrededor de algún punto $y_0$ entonces $y_0$ está en el rango de la función. Hay un $n$ -dimensional de esto, también. Sólo que no estoy seguro de cómo definir este concepto de "viento" sin alguna homotopía.

Answer 2

Se puede hacer esto mediante el teorema del punto fijo de Brouwer. Sea $a\in\Bbb R^2$ sea arbitraria, y defina $g:\Bbb R^2\to\Bbb R^2$ por $g(x)=x-f(x)+a$ . Por hipótesis, $g$ es continua y tiene imagen contenida en el disco de radio $~2$ y el centro $~a$ . Restringiendo a ese disco, $g$ tiene un punto fijo $p$ en ella por el teorema mencionado. Pero $g(p)=p$ significa $f(p)=a$ y como $a$ era arbitraria, $f$ es suryente.