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Independencia del Axioma de Separación

Considere ZFC con el Axioma de Reemplazo formulado como xyz(ϕ(x,y)ϕ(x,z)y=z)awxy(xaϕ(x,y)yw)xyz(ϕ(x,y)ϕ(x,z)y=z)awxy(xaϕ(x,y)yw) donde ϕϕ es un predicado de dos lugares que puede contener parámetros que no están entre a,x,y,z,wa,x,y,z,w. La diferencia con el Reemplazo usual es que puede producir un superset del rango de ϕϕ.

Para mis propósitos aquí, ZFC incluye el Axioma de Regularidad, y el conjunto nulo, los axiomas de par, unión y potencia dan resultados exactos.

En presencia del Axioma de Separación, el axioma de Reemplazo debilitado fácilmente implica la versión exacta; por otro lado, el Reemplazo completo por sí solo implica Separación.

Sin embargo, el Reemplazo débil no parece implicar Separación. ¿Hay alguna manera elegante de demostrar esto?

Más precisamente, sea FC ZFC como se esbozó anteriormente, sin Separación. ¿Demuestra ZFC que FC es consistente?


Si no tuviéramos que cumplir Regularidad, sería fácil: Deje que el universo sea N, y deje que nm signifique "m=0 o el n-ésimo bit en la representación binaria de m1 es 1". Entonces 0 representaría un conjunto universal, que de inmediato satisfaría el Reemplazo debilitado, así como la Infinitud. Pero este modelo fallaría en Regularidad debido al conjunto universal (y su único). Y sin un conjunto universal parece ser difícil estar seguro de haber domado todas las posibles instancias del Reemplazo débil.

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Miré a Fraenkel et al. Fundamentos de teoría de conjuntos para esto y en una nota al pie de página en la página 53 dicen que este es un resultado inédito de Levy que utiliza forcing. No tengo ni idea de en qué consistiría el modelo de Levy.

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También mira la página 75 aquí: math.bu.edu/people/aki/20.pdf y las referencias mencionadas allí.

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¡Por favor, dime si crees que mi respuesta es incorrecta o no está clara! Estaré más que feliz de descubrir qué me falta o de aclarar.

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electroducer Puntos 11

El siguiente modelo de tamaño de clase en ZFC funciona, creo. (Y supondría que se podría construir una versión de tamaño de conjunto en ZFC).

Deja que:

M0=

Mα+1=Mα{Mα}{{x,y}:x,yMα}{x:xMα}{{yx:yMα}:xMα}{yMαx×x:xMαy es un buen orden de x}

Mλ=α<λMα

Es fácil ver que MΩ=Mα satisface Infinito, Pareo, Unión, Fundación y Elección. Para Conjunto de partes, ten en cuenta que los subconjuntos de x tienen que ocurrir todos en algún Mα. De manera similar para Recambio.

Ahora, una simple inducción establece que el cierre transitivo de cada conjunto en MΩ ya sea contiene finitamente muchos ordinales finitos o infinitamente muchos no-ordinales. Por lo tanto, no contiene a ω, aunque ω es Δ0 definible sobre Mω=Vω.

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Lo que realmente me interesa aquí es lo que se esconde dentro de la afirmación rápida "De manera similar para el Reemplazo". ¿Por qué puedes estar seguro de que el rango de una fórmula funcional arbitraria ϕ, cuando se interpreta en relación con el completo MΩ, siempre caerá dentro de uno de los Mα?

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Simplemente usamos la Replacement en la teoría del ambiente. Sea ϕ funcional en MΩ y sea ψ una función que asigna a cada elemento en el rango de ϕ su rango en MΩ. Por la Replacement, habrá un límite superior mínimo de esos rangos, λ, y el rango de ϕ será un subconjunto de Mλ.

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Hmm... y ϕ relativizada a MΩ sigue siendo funcional en la teoría ambiente, por lo que la Replacement externa sí se aplica. Bueno, estoy de acuerdo con eso.

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