Considere ZFC con el Axioma de Reemplazo formulado como ∀x∀y∀z(ϕ(x,y)∧ϕ(x,z)→y=z)→∀a∃w∀x∀y(x∈a∧ϕ(x,y)→y∈w)∀x∀y∀z(ϕ(x,y)∧ϕ(x,z)→y=z)→∀a∃w∀x∀y(x∈a∧ϕ(x,y)→y∈w) donde ϕϕ es un predicado de dos lugares que puede contener parámetros que no están entre a,x,y,z,wa,x,y,z,w. La diferencia con el Reemplazo usual es que puede producir un superset del rango de ϕϕ.
Para mis propósitos aquí, ZFC incluye el Axioma de Regularidad, y el conjunto nulo, los axiomas de par, unión y potencia dan resultados exactos.
En presencia del Axioma de Separación, el axioma de Reemplazo debilitado fácilmente implica la versión exacta; por otro lado, el Reemplazo completo por sí solo implica Separación.
Sin embargo, el Reemplazo débil no parece implicar Separación. ¿Hay alguna manera elegante de demostrar esto?
Más precisamente, sea FC ZFC como se esbozó anteriormente, sin Separación. ¿Demuestra ZFC que FC es consistente?
Si no tuviéramos que cumplir Regularidad, sería fácil: Deje que el universo sea N, y deje que n∈m signifique "m=0 o el n-ésimo bit en la representación binaria de m−1 es 1
". Entonces 0 representaría un conjunto universal, que de inmediato satisfaría el Reemplazo debilitado, así como la Infinitud. Pero este modelo fallaría en Regularidad debido al conjunto universal (y su único). Y sin un conjunto universal parece ser difícil estar seguro de haber domado todas las posibles instancias del Reemplazo débil.
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Miré a Fraenkel et al. Fundamentos de teoría de conjuntos para esto y en una nota al pie de página en la página 53 dicen que este es un resultado inédito de Levy que utiliza forcing. No tengo ni idea de en qué consistiría el modelo de Levy.
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También mira la página 75 aquí: math.bu.edu/people/aki/20.pdf y las referencias mencionadas allí.
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¡Por favor, dime si crees que mi respuesta es incorrecta o no está clara! Estaré más que feliz de descubrir qué me falta o de aclarar.
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@hot_queen: Buena referencia, gracias. Esto implica una respuesta negativa a "¿FC prueba Separación?", pero no a "¿hay una buena prueba o algo así?" o "¿ZFC prueba la consistencia de FC?".