Independencia del Axioma de Separación

Question

Considere ZFC con el Axioma de Reemplazo formulado como $$\forall x\forall y\forall z(\phi(x,y)\land \phi(x,z)\to y=z) \to \forall a\exists w\forall x\forall y(x\in a\land \phi(x,y)\to y\in w)$$ donde $\phi$ es un predicado de dos lugares que puede contener parámetros que no están entre $a, x, y, z, w$. La diferencia con el Reemplazo usual es que puede producir un superset del rango de $\phi$.

Para mis propósitos aquí, ZFC incluye el Axioma de Regularidad, y el conjunto nulo, los axiomas de par, unión y potencia dan resultados exactos.

En presencia del Axioma de Separación, el axioma de Reemplazo debilitado fácilmente implica la versión exacta; por otro lado, el Reemplazo completo por sí solo implica Separación.

Sin embargo, el Reemplazo débil no parece implicar Separación. ¿Hay alguna manera elegante de demostrar esto?

Más precisamente, sea FC ZFC como se esbozó anteriormente, sin Separación. ¿Demuestra ZFC que FC es consistente?

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Si no tuviéramos que cumplir Regularidad, sería fácil: Deje que el universo sea $\mathbb N$, y deje que $n\in m$ signifique "$m=0$ o el $n$-ésimo bit en la representación binaria de $m-1$ es 1". Entonces $0$ representaría un conjunto universal, que de inmediato satisfaría el Reemplazo debilitado, así como la Infinitud. Pero este modelo fallaría en Regularidad debido al conjunto universal (y su único). Y sin un conjunto universal parece ser difícil estar seguro de haber domado todas las posibles instancias del Reemplazo débil.

Answer 1

El siguiente modelo de tamaño de clase en ZFC funciona, creo. (Y supondría que se podría construir una versión de tamaño de conjunto en ZFC).

Deja que:

$\mathcal M_0 = \emptyset$

$\mathcal M_{\alpha+1} = \mathcal M_\alpha \cup\{\mathcal M_\alpha\}\cup \{\{x,y\}:x,y \in \mathcal M_\alpha\} \cup \{\cup x:x\in\mathcal M_\alpha\}\cup\{\{y\subseteq x: y\in \mathcal M_\alpha\}:x\in\mathcal M_\alpha\}\cup \{y\subseteq \mathcal M_\alpha\cap x\times x: x\in\mathcal M_\alpha \wedge \mbox{$y$ es un buen orden de $x$}\}$

$\mathcal M_\lambda = \bigcup_{\alpha<\lambda} \mathcal M_\alpha$

Es fácil ver que $\mathcal M_\Omega = \bigcup \mathcal M_\alpha$ satisface Infinito, Pareo, Unión, Fundación y Elección. Para Conjunto de partes, ten en cuenta que los subconjuntos de $x$ tienen que ocurrir todos en algún $\mathcal M_\alpha$. De manera similar para Recambio.

Ahora, una simple inducción establece que el cierre transitivo de cada conjunto en $\mathcal M_\Omega$ ya sea contiene finitamente muchos ordinales finitos o infinitamente muchos no-ordinales. Por lo tanto, no contiene a $\omega$, aunque $\omega$ es $\Delta_0$ definible sobre $\mathcal M_\omega = V_\omega$.