Ejemplo de múltiple orientable cerrada con un campo del vector distinto de cero, pero no paralelizable

Question

Puede usted dar un ejemplo simple de un sistema cerrado orientable colector con un distinto de cero en todas partes de la sección de la tangente paquete, pero donde la tangente de paquete no es trivial?

Si el colector no es orientable, no es demasiado difícil encontrar ejemplos (por ejemplo, de la botella de Klein). Pero todas las construcciones tan obvias no puedo pensar en un error cuando se requieren orientability. Por ejemplo, una cosa natural a hacer es tomar un producto de una parallelizable colector (es decir $S^1$) con un colector con ningún distinto de cero en todas partes de la sección de la tangente paquete. Pero no hay ninguna garantía de que esto va a tener trivial tangente del paquete: por ejemplo, $S^1\times S^n$ es parallelizable para todos los $n$.

Answer 1

El % de esfera $S^5$es cerrada, orientable, y hay una sección nonvanishing explícita de su paquete de la tangente: $(x_2, -x_1, x_4, -x_3, x_6, -x_5)$ (si usted ve $S^5 \subset \mathbb{R}^6$ en la forma estándar). Pero el teorema de Adams en el invariante de Hopf dice que las esferas sólo paralelizable $S^0$, $S^1$, $S^3$ y $S^7$. (Elegí $S^5$, pero funciona cualquier esfera impar distinto de estos cuatro ejemplos).

Answer 2

Por la de Poincaré-Hopf teorema y su opuesto, si $X$ es un circuito cerrado conectado suave orientable colector, a continuación, $X$ admite un nonvanishing campo vectorial iff la característica de Euler de $X$ es cero. Por lo que es suficiente para encontrar un ejemplo de este tipo de colector, cuya característica de Euler es cero, pero de tal manera que al menos uno de sus Stiefel-Whitney o de Pontryagin clases no desaparece.

Un ejemplo no existe en dimensiones bajas (y tenga en cuenta que la característica de Euler condición mantiene automáticamente en todas las dimensiones impares por la dualidad de Poincaré):

• Si $\dim X = 1$, $X$ debe $S^1$, que es parallelizable.
• Si $\dim X = 2$, $X$ debe $S^1 \times S^1$, que es parallelizable.
• Si $\dim X = 3$, entonces cualquier cerrada orientada liso $3$-colector es parallelizable.

Por lo $\dim X \ge 4$. Lamentablemente estoy teniendo algunos problemas para la escritura de la $4$-dimensiones contraejemplo, y no estoy seguro de si existe.

Pero aquí hay un montón de $5$-dimensiones contraejemplos: vamos a $X = S^1 \times Y$ donde $Y$ es un circuito cerrado conectado suave orientable $4$-colector con un valor distinto de cero de la firma, por ejemplo,$\mathbb{CP}^2$. A continuación, $X$ es cerrado, conectado, suave, orientable, y tiene la característica de Euler $0$, pero por la firma teorema $p_1(Y) \neq 0$$p_1(X) \neq 0$, lo $X$ no es estable parallelizable.

Más generalmente, puede tomar $X = S^1 \times Y$ donde $Y$ es cerrado, conectado, suave, orientable, pero no de forma estable parallelizable, por ejemplo, porque al menos uno de sus Stiefel-Whitney o de Pontryagin clases no desaparece. Esta construcción requiere que $\dim Y \ge 4$.

Edit: Un ejemplo más sencillo es tomar el $X = \mathbb{RP}^5$. Como $S^5$, este es cerrado, conectado, suave, orientable, y tiene la característica de Euler $0$, por lo tanto tiene un nonvanishing campo vectorial (que creo que puede ser construido a partir de un correspondiente nonvanishing campo de vectores en $S^5$). Pero su Stiefel-Whitney clases no todos se desvanecen; por ejemplo, $w_2(\mathbb{RP}^5) \neq 0$. Por lo $X$ no es estable parallelizable. Esto no requiere de grandes teoremas.