¿Qué significa tener un determinante igual a cero?

Question

Después de buscar en mi libro durante un par de horas, todavía estoy confundido acerca de lo que significa que una matriz $(n\times n)$ $A$ tenga un determinante igual a cero, $\det(A)=0$.

Espero que alguien pueda explicármelo en un lenguaje sencillo.

Answer 1

Para una matriz $n\times n$, cada una de las siguientes es equivalente a la condición de que la matriz tenga determinante $0$:

• Las columnas de la matriz son vectores dependientes en $\mathbb R^n$

• Las filas de la matriz son vectores dependientes en $\mathbb R^n$

• La matriz no es invertible.

• El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores columna de la matriz es $0$.

• El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores fila de la matriz es $0$.

• El sistema de ecuaciones lineales homogéneas representado por la matriz tiene una solución no trivial.

• El determinante de la transformación lineal determinada por la matriz es $0$.

• El coeficiente libre en el polinomio característico de la matriz es $0$.

Dependiendo de la definición del determinante que hayas visto, demostrar cada equivalencia puede ser más o menos difícil.

Answer 2

Si el determinante de una matriz cuadrada $n\times n$ $A$ es cero, entonces $A$ no es invertible. Esta es una prueba crucial que ayuda a determinar si una matriz cuadrada es invertible, es decir, si la matriz tiene un inverso. Cuando tiene un inverso, nos permite encontrar una solución única, por ejemplo, a la ecuación $Ax = b$ dada cierto vector $b.

Cuando el determinante de una matriz es cero, el sistema de ecuaciones asociado con él es linealmente dependiente; es decir, si el determinante de una matriz es cero, al menos una fila de dicha matriz es un múltiplo escalar de otra.

[Cuando el determinante de una matriz es distinto de cero, el sistema lineal que representa es linealmente independiente.]

Cuando el determinante de una matriz es cero, sus filas son vectores linealmente dependientes, y sus columnas son vectores linealmente dependientes.

Answer 3

El determinante de una matriz es el volumen orientado de la imagen del cubo unitario. Si es cero, el cubo unitario se mapea dentro de un plano y tiene un volumen de cero.

Answer 4

Hay una interpretación geométrica para el determinante. Además de la interpretación en la otra respuesta, otra interpretación atractiva relacionada con el determinante es su interpretación como el volumen de un paralelepípedo de $N$ dimensiones. Esto se expresa más en 3 dimensiones. Si tomas $3$ vectores en 3-D, pueden o no formar las esquinas de un paralelepípedo, si tomas el determinante de una matriz con estos 3 vectores como columnas (o filas), si el determinante es cero, significa que no forman un paralelepípedo juntos, si es distinto de cero, significa que de hecho forman las 3 aristas de un paralelepípedo con el volumen dado por el determinante. El signo del valor del determinante proporciona una especie de información sobre la orientación de este cuerpo.

Answer 5

Otra forma de expresarlo:

Si tomas $2$ vectores en el espacio $2D$, puedes demostrar que el área del paralelogramo formado es simplemente el determinante de la matriz formada por esos dos vectores. Este es un resultado general para $n$ dimensiones: el determinante de una matriz es el volumen del $n$-paralelogramo formado por las filas de la matriz.

Si el determinante es cero, esto significa que el volumen es cero. Esto solo puede ocurrir cuando uno de los vectores "se superpone" a otro o, más formalmente, cuando dos de los vectores son linealmente dependientes.