Después de buscar en mi libro durante un par de horas, todavía estoy confundido acerca de lo que significa que una matriz $ (n \times n) $ $ A $ tenga un determinante igual a cero, $ \det (A) = 0 $.
Espero que alguien pueda explicarme esto en un lenguaje sencillo.
Para una matriz $n\times n$, cada una de las siguientes es equivalente a la condición de que la matriz tenga determinante $0$:
Las columnas de la matriz son vectores dependientes en $\mathbb R^n$
Las filas de la matriz son vectores dependientes en $\mathbb R^n$
La matriz no es invertible.
El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores columna de la matriz es $0$.
El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores fila de la matriz es $0$.
El sistema de ecuaciones lineales homogéneas representadas por la matriz tiene una solución no trivial.
El determinante de la transformación lineal determinada por la matriz es $0$.
El coeficiente libre en el polinomio característico de la matriz es $0$.
Dependiendo de la definición del determinante que hayas visto, demostrar cada equivalencia puede ser más o menos difícil.
El sistema de ecuaciones lineales homogéneas representado por la matriz tiene una solución no trivial. ¿Significa esto que tiene un número infinito de soluciones?
@MateenUlhaq Sí: si el núcleo no está vacío, dado que es un espacio vectorial, hay infinitas soluciones ($Ax=0 \Rightarrow A(2x)=0$).
@MateenUlhaq Bueno, eso es cierto si tus matrices están definidas sobre un campo infinito (como los números racionales, reales o complejos), ¡pero falso si están definidas sobre un campo finito!
Si el determinante de una matriz cuadrada $n\times n$ $A$ es cero, entonces $A$ no es invertible. Esta es una prueba crucial que ayuda a determinar si una matriz cuadrada es invertible, es decir, si la matriz tiene un inverso. Cuando tiene un inverso, nos permite encontrar una solución única, por ejemplo, a la ecuación $Ax = b$ dado algún vector $b.
Cuando el determinante de una matriz es cero, el sistema de ecuaciones asociado con ella es linealmente dependiente; es decir, si el determinante de una matriz es cero, al menos una fila de dicha matriz es un múltiplo escalar de otra.
[Cuando el determinante de una matriz es distinto de cero, el sistema lineal que representa es linealmente independiente.]
Cuando el determinante de una matriz es cero, sus filas son vectores linealmente dependientes y sus columnas son vectores linealmente dependientes.
No es necesario que una fila sea múltiplo de otra, solo que sean linealmente independientes.
Hay una interpretación geométrica para el determinante. Además de la interpretación en otra respuesta, hay otra atractiva relacionada con el determinante, que es su interpretación como el volumen de un paralelepípedo de $N$ dimensiones. Esto se expresa más en 3 dimensiones. Si tomas $3$ vectores en 3-D, pueden o no formar las esquinas de un paralelepípedo, si tomas el determinante de una matriz con estos 3 vectores como columnas (o filas), si el determinante es cero, significa que no forman un paralelepípedo juntos, si es distinto de cero, significa que de hecho forman los 3 bordes de un paralelepípedo con el volumen dado por el determinante. El signo del valor del determinante da cierta información sobre la orientación de este cuerpo.
Otra forma de expresarlo:
Si tomas $2$ vectores en el espacio $2D$, puedes mostrar que el área del paralelogramo formado es simplemente el determinante de la matriz formada por esos dos vectores. Este es un resultado general para $n$ dimensiones: el determinante de una matriz es el volumen del $n$-paralelogramo formado por las filas de la matriz.
Si el determinante es cero, esto significa que el volumen es cero. Esto solo puede ocurrir cuando uno de los vectores "se superpone" a uno de los otros o más formalmente, cuando dos de los vectores son linealmente dependientes.
No necesariamente dos de los vectores necesitan ser linealmente dependientes. Más bien, si el determinante es $0$, entonces el volumen del paralelepípedo es $0, lo que significa que al menos un vector yace en el hiperplano abarcado por los otros, por lo tanto, el conjunto de vectores es dependiente. Aún es posible que cada dos vectores sean independientes (en $R^3$ y superior).
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Si estás hablando sobre el determinante de una matriz cuadrada $A$, una caracterización muy útil es que $\det A=0$ si y solo si $A$ no es invertible.
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Tu respuesta ya está resuelta, pero me gustaría agregar un truco. Si el rango de una matriz nxn es menor que n, el determinante será cero.
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Hay que presumir que querían conocer el significado en lugar de la definición, ya que la definición de $ det (A) = 0 $ sigue trivialmente de la de $ det (A) $. Dado el nivel de la pregunta, siento que la consecuencia equivalente más iluminadora es que existen dos vectores diferentes que se convierten en lo mismo cuando se multiplican por $ A $, es decir, una formulación elemental de lo que significa que $ A $ no es invertible.
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Las columnas y filas de la matriz son linealmente dependientes.
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Hay infinitas soluciones para la matriz...
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Si el determinante de una matriz de correlación es cero o cercano a cero, entonces las variables están perfectamente correlacionadas (altamente correlacionadas)... si se utilizan números decimales, es mejor comprobar scipy.allclose(det, 0), debido a la posibilidad de no obtener un cero exacto.
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No obstante, aún detA=0 implica que existe una solución no nula para las ecuaciones lineales homogéneas determinadas por A