Conexión de trayectorias y puntos fijos

Question

Nos han dado lo siguiente,

Dejemos que $, \colon [0, 1] \to [0, 1]$ sean funciones (no necesariamente continuas) tales que

• $(x) (x)$ para todos $x [0, 1]$ .
• El conjunto $K = \{\,(x, y); (x) y (x)\,\}$ está cerrado en $\mathbb R^2$ .

Demuestre que existe $t [0, 1]$ tal que $(t, t) K$ .

Creemos que si $K$ está cerrada, entonces debe estar conectada por un camino. En cuyo caso, tenemos una función continua de $[0,1]$ a $[0,1]$ que está contenida en $K$ . Por lo tanto podemos utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que esta función debe tener un punto fijo, lo que concluiría nuestro argumento.

Nuestra dificultad es que no podemos demostrar que $K$ está realmente conectada por un camino, aunque cada ejemplo de $$ and $$ que podemos pensar que satisfacen las propiedades requeridas hacen $K$ camino conectado.

Answer 1

Dejemos que $A=\{\,x\in[0,1]:\alpha(x)>x\,\}$ . Entonces $A$ es un subconjunto abierto de $[0,1]$ : Si $\alpha(x_0)>x_0$ entonces $K$ es disjunta de una vecindad abierta del conjunto compacto $\{x_0\}\times[0,x_0]$ Por lo tanto $\alpha(x)>x$ en un barrio de $x_0$ . De la misma manera, $B=\{\,x\in[0,1]:\beta(x)<x\,\}$ está abierto. Desde $A\cap B=\emptyset$ y $[0,1]$ está conectado, concluimos que $A\cup B\ne [0,1]$ . Dejemos que $t\in[0,1]\setminus (A\cup B)$ . Entonces $\alpha(t)\le t\le\beta(t)$ es decir $(t,t)\in K$ .

Answer 2

Sólo necesita que $K$ está conectada, así que supongamos que $K$ puede dividirse en $2$ conjuntos cerrados no vacíos $A,B$ .

$K$ se compone de segmentos verticales y, como están conectados, cada uno de esos segmentos está completamente en $A$ o en $B$ . Por lo tanto, la proyección de $A$ y $B$ en el $x$ divide el intervalo $[0,1]$ en $2$ conjuntos cerrados no vacíos, lo que no es posible.