Explicación de la Ley de Clavius

Question

La Ley de Clavius establece $ \sim P \Rightarrow P \vdash P$

Y la única explicación que más o menos entiendo es

"If we ought to philosophise, then we ought to philosophise; and if we ought not to philosophise, then we ought to philosophise (i.e. in order to justify this view); in any case, therefore, we ought to philosophise."

que para mí se lee como $(P \Rightarrow P)\wedge (\sim P \Rightarrow P ) \vdash P $
donde P es "debemos filosofar" Que no es exactamente lo mismo.

Tengo conocimiento de la siguiente relación
$(\sim P \Rightarrow P ) \Leftrightarrow \; (\sim(\sim P)\; \vee \: P)$

y combinando esto con lo anterior sería básicamente una forma de "O Eliminación" o prueba por casos. Pero esto es sólo una explicación de cómo se elaboraría su prueba.

De todos modos, lo anterior es más bien una digresión, pero tal vez pueda tener algún peso en mi pregunta. En realidad, lo que me interesa es una comprensión intuitiva de la ley de Clavius. ¿Cuáles son algunos ejemplos comunes en la lógica cotidiana?

Answer 1

La "ley de Clavius" es sólo una variante de la prueba por contradicción o reductio ad absurdum : Si $\sim\! P$ implica $P$ entonces $\sim\! P$ es inconsistente (porque entonces también implica la contradicción $\sim\! P\land P$ ). Por lo tanto $P$ .

Formalmente: $\sim\! P \Rightarrow P\vdash P$ .

Deberías poder formular cualquier prueba por contradicción como un ejemplo de la ley de Clavius, pero en algunos casos puede resultar un poco incómodo.

El argumento diagonal de Cantor que $\mathbb R$ no es enumerable escrito como un ejemplo de la ley de Clavius:

Supongamos que tiene una enumeración de $\mathbb R$ . Entonces, por diagonalización puedes construir un número real que no esté en esa enumeración. Por lo tanto no tienes una enumeración de $\mathbb R$ . Por lo tanto: $\mathbb R$ no es enumerable.

(Niega doblemente la primera premisa para que coincida exactamente con la forma lógica de la ley de Clavius, si eres quisquilloso).

Argumento contra el relativismo (absoluto), escrito como un ejemplo de la ley de Clavius:

"Ninguna frase es cierta" $\Rightarrow$ "Hay oraciones verdaderas" (por ejemplo: "Ninguna oración es verdadera"). Por lo tanto, hay sentencias verdaderas. ref

Answer 2

La Ley Clavius, también conocida como Consequentia Mirabilis, es un ejemplo de la más común Prueba de Casos. Proof by Cases es el esquema axiomático:

/* Prueba por casos */
(¬ B A) ((B A) A)

Si ahora instanciamos B = A, obtenemos:

/* Ley Clavius aka Consequentia Mirabilis */
(¬ A A) A

Curiosamente, también se puede ir hacia atrás y derivar la Proof by Cases de la Consequentia Mirabilis. La interderivabilidad es válida para la lógica mínima. La instanciación B = A también se menciona aquí:

Aristóteles y la Consequentia Mirabilis
William Kneale - 1957
https://www.jstor.org/stable/628635?seq=1

Answer 3

"∼P⇒P⊢P"

Usted puede leer esto en el sentido de "Supongamos que la negación de una proposición implica que la proposición. De ello se desprende que la proposición es demostrable."

O lo que es equivalente en notación polaca:

CNpp $\vdash$ p.

Nada menos que Aristóteles mismo no entender la ley de Clavius.

Con el principio de bivalence en mente, la única manera de que la negación de una proposición puede implicar una proposición es cuando la proposición es verdadera también. Vamos a demostrar de manera informal esta contradicción.

Supongamos que 'CNpp' es verdadero (1). Supongamos que 'p' es falsa (0). Entonces

CNpp = CN00.

CN00 = C10.

C10 = 0.

Por lo tanto, el CNpp, va a terminar como falsa. Pero, esto se contradice con nuestra primera hipótesis, y por lo tanto llegamos a la conclusión de que 'p' es verdadera cuando 'CNpp' es verdadera. Por lo tanto, la ley de Clavius es correcta.

La ley de Clavius acostumbrado por Euclides de demostrar un teorema de la teoría de números. p. 50-51 de J. Lukasiewicz, el libro de Aristóteles Syllogistic se lee como sigue:

"Si el producto de dos números enteros, a y b, a es divisible por un número primo n, entonces si a no es divisible por n, b debe ser divisible por n'. Supongamos ahora que a = b y el producto de a x a (a^2) es divisible por n. Es el resultado de esta suposición de que 'Si a no es divisible por n, entonces a es divisible por n'. Aquí tenemos un ejemplo de una verdadera implicación de que el antecedente de que es la negación del consecuente. De esta implicación de Euclides se deriva del teorema: "Si a^2 es divisible por un número primo n, entonces a es divisible por n.'

O en más la notación simbólica de las ideas podría llegar de la siguiente manera:

Supongamos que ab | n, y n es primo. Entonces, si a | n es falso, b | n es verdadera. Supongamos que a = b. Por lo tanto, aa | n. De ello se sigue que si a | n es falsa, a | n es verdadera. En consecuencia, supongamos que aa | n, y n es primo. Luego por la ley de Clavius a | n es verdadera.

Como un ejemplo de la aplicación del teorema, ya que 36 es divisible por 3, se deduce que el 6 es divisible por 3. O como uno que podría no parecer demasiado obvio, 50,625 es cuadrado. Es divisible por el número primo 5. Así,

(50,625 / 5) = 10,125 es divisible por 5. También, 50,625 es divisible por 3. Así, 50,625 / 3 = 16,875 que es divisible por 3.

Además, la ley de Clavius es un "débil" de la ley. En otras palabras, podemos revertir el torniquete. No sólo tenemos

CNpp $\vdash$ p

pero también tenemos

p $\vdash$ CNpp.

Por lo tanto, en cualquier momento usted tiene una subformula del tipo "CNpp" en cualquier fórmula, se puede reemplazar por un subformula del tipo "p" en cualquier parte de la fórmula y el valor de verdad de la fórmula no va a cambiar. O en lugar de evaluar más corto fórmulas, puede evaluar fórmulas más largas mediante la sustitución de cualquier instancia de un subformula del tipo " p " con un subformula del tipo 'CNpp' en la fórmula, y el valor de verdad de la fórmula no va a cambiar.

La ley de Clavius también puede aplicarse para determinar si una fórmula es una tautología, si tiene sólo condicional y la negación de los símbolos (y las variables o constantes). El patrón general va a asumir que tal fórmula no es una tautología. A continuación, se muestran que bajo esa suposición es una tautología. El desempeño de las hipótesis que tienen una implicación directa que nos da el lado izquierdo de la ley de Clavius. Por lo tanto la conclusión de que la fórmula en mente es una tautología.

Por ejemplo, supongamos que queremos demostrar que

C CCpqr C Crp C s p

es una tautología.

Vamos a asumir que no es una tautología. Bajo este supuesto, el consecuente es falso. O en símbolos tenemos que

C Crp C s p = 0.

Si C Crp C s p = 0, entonces

Pcr = 1 y

C s p = 0.

Si C s p = 0, entonces

--> s = 1

y

--> p = 0.

Pcr = 1, entonces

--> r = 0.

Puesto que p = 0,

Cpq = 1.

Desde Cpq = 1 y r = 0,

CCpqr = 0.

Por lo tanto, si C Crp C s p = 0, CCpqr = 0 también.

De ello se sigue que C CCpqr C Crp C s p = 1.

Así, a partir de la asunción de C CCpqr C Crp C s p no ser una tautología, hemos encontrado que el C CCpqr C Crp C s p es una tautología. El desempeño de la hipótesis, se tiene que si C CCpqr C Crp C s p no es una tautología, entonces es una tautología. Por la ley de Clavius, así que ahora a la conclusión de que C CCpqr C Crp C s p es una tautología.

Tenga en cuenta que nosotros no usamos la prueba por contradicción aquí en la forma de la derivación de "p y no p", porque en ninguna parte se deriva de una conjunción. Ni tampoco se deriva de dos condicionales, uno de los cuales implica una proposición, y el otro es la negación. Y usted NO puede, lógicamente, inferir, a partir de una proposición y su negación, cualquier tautología directamente (usted tiene que hacer más trabajo por primera vez).

Meta-teorema:

Si una fórmula es una tautología, y es un condicional, se puede obtener de manera informal probarse utilizando el método indicado anteriormente, utilizando la ley de Clavius. Por lo tanto, si desea más práctica con la ley de Clavius, le sugiero escoger cualquier condicional que cualquier libro de texto dice que es una tautología y demostrando de una manera similar a la anterior. Por ejemplo, trate de probar que cualquier de los siguientes son tautologías utilizando el método anterior y la ley de Clavius

CCpqCCqrCpr, CpCNpq, CpCqp, CCpCqrCCpqCpr, CCpCpqCpq, CCpqCCrpCrq, CCNpqCCNpNqp, CCpCqrCqCpr.