Encontrar el número de elementos de tres conjuntos de enteros positivos $\{a,b,c\}$ tal que $a\times b\times c=2310$.

Question

Encontrar el número de elementos de tres conjuntos de enteros positivos $\{a,b,c\}$ tal que $a\times b\times c=2310$.

Mi intento:

Ahora, $2310=2\times 3\times 5\times 7\times 11=a\times b\times c$

$a=2^{x_{1}}3^{y_{1}}5^{z_{1}}7^{w_{1}}11^{t_{1}}$

$b=2^{x_{2}}3^{y_{2}}5^{z_{2}}7^{w_{2}}11^{t_{2}}$

$c=2^{x_{3}}3^{y_{3}}5^{z_{3}}7^{w_{3}}11^{t_{3}}$

donde $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$; $x_{1},x_{2},x_{3}$ ser números enteros no negativos.

Número de soluciones de esta ecuación claramente $3$ y semejantemente para las otras variables también.

Así, el número de soluciones $=3^5$.

Pero la respuesta dada es $40$.

Estoy Malinterpretando la pregunta

Answer 1

$3^5=243$ es el número de pedido triples $\{a,b,c\}$ tal que $abc=2310$. Se nos pide el número de conjuntos. Así que (i) $a,b,c$ debe ser diferente; y (ii) el orden es irrelevante.

Reglas de la condición (i) % de triples $\{1,1,2310\},\{1,2310,1\},$y $\{2310,1,1\},$ que sale 240.

Condición (ii) significa que dividimos por $3!=6$, porque cada juego corresponde a seis triples. Así que nos quedamos con $40$.

Answer 2

Conseguí una solución combinatoria.

$2310=2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$

$\dfrac{\dbinom{5}{1}\dbinom{4}{1}\dbinom{3}{3}}{2!} = 10\\ \dfrac{\dbinom{5}{2}\dbinom{3}{1}\dbinom{2}{2}}{2!} = 15\\ \dbinom{5}{3}\dbinom{2}{2}=10\\ \dbinom{5}{4}\dbinom{1}{1}=5$

Total: $40$

Answer 3

$5=3+1+1, 1+2+2.$ Para hacer juegos sin entero $1,$ primera posibilidad, $10$ maneras. Segunda posibilidad, $15$ maneras. Si entero $1$ se toma una vez $, 5=3+2, 4+1.$ primeras posibilidad $10$ maneras, formas de #% de %#% de posibilidad segunda. Tan total $5$ maneras.