$A^{100} = 0$ implica $A^2 = 0$ $A$ $2\times 2$ haya

Question

Cómo mostrar la siguiente afirmación

$A^{100} = 0 \implies A^2 = 0$ $A \in Mat(2 \times 2, K)$

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Si A es la matriz de un mapa lineal $\phi$ para todas las $v \in K^2$ la identidad siguiente debe ser verdadero

$\phi^{99}(v) = A^{99}\cdot v = A^{99} \cdot col_i(A) = 0$

Pero, ¿cómo demostrar que $A^2 = 0$?

Answer 1

En general, si una matriz cuadrada de $A$ satisface $p(A)=0$ donde $p$ es un polinomio, entonces divide al polinomio mínimo de $A$ $p$. Así, ya que cumple con su $A$ $p(A)=0$ $p(x)=x^{100}$, se deduce que divide al polinomio mínimo de $A$ $x^{100}$. Pero el grado del polinomio mínimo es $\le$ el tamaño de $A$ $2$. Por lo tanto, el polinomio mínimo es o $x$ o $x^2$, que $A=0$ o $A^2=0$.

Answer 2

$(A^nK^2)_{n\ge0}$ Forman una secuencia de subspaces de $K^2$ que es estrictamente decreciente, hasta que alcanza su mínimo.

Answer 3

Elegir $\lambda$ un valor propio de $A$. Entonces $Ax=\lambda x$ $x$ un vector propio distinto a cero. Inductivamente encontrará la que $A^{100}x=\lambda^{100}x=0$. Por lo tanto $\lambda^{100}=0$. Por lo tanto $A$ tiene solamente cero valores propios. $A$ Es una matriz de $2\times 2$, del teorema de Cayley Hamilton sigue que $A^2=0$.