Subespacios densos de espacio de Hilbert con intersección trivial

Question

Estoy buscando un ejemplo de un % de espacio de Hilbert $\mathcal H$y subespacios densos $U_1,U_2\subset \mathcal H$ tal que $U_1\cap U_2 = \{0\}$. Lo mejor que he conseguido es intersección unidimensional, $L^2([0,1])$ como el espacio de Hilbert y $U_1$ las funciones simples y $U_2$ los polinomios.

Answer 1

Su enfoque también funciona si sólo ligeramente modificar tu ejemplo por deshacerse de los polinomios constantes que hacen que tu ejemplo no trabajo.

Tomar $U_1$ según lo definido por usted y $U_2 := \operatorname{span}\{x^n: n\geq 1\}.$ de piedra-Weierstraß es $\|\cdot\|_\infty$-densa en $C_0(0,1)$, pero luego también $\|\cdot\|_2$-densa en $C_0(0,1)$ ya que esta norma es más débil en $C_0(0,1)$. Puesto que es de $C_0(0,1)$ $\|\cdot\|_2$-denso en $L^2(0,1)$ $U_2$ también debe ser $\|\cdot\|_2$-densa en $L^2(0,1)$. Ahora $\{0,1\}$ tiene cero medida sea incluso densa en $U_2$ $L^2[0,1]$.