¿Por qué son los números de Bernoulli de índice incluso distinto de cero?

Question

Los números de Bernoulli se definen a través de: $\frac{z}{e^z-1}=\sum_{i=0}^{\infty}B_i \frac{z^i}{i!} $.

Se puede demostrar fácilmente que $B_i=0$ % todo $i\geq3$impares. ¿Hay una manera similar a que $B_i\neq 0$ % hasta los $i$?

Saludos

Answer 1

Esto puede ser demostrado usando la fórmula $$ \zeta(2n)=\frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, $$ $\zeta(s)$ Dónde está la función del zeta de Riemann. La representación de la serie $\zeta$ aclara que $\zeta(2n)\neq 0$, que implica $B_{2n}\neq 0$.