$Tr(A^2)=Tr(A^3)=Tr(A^4)$ y luego encontrar $Tr(A)$

Question

Deje que $A$ ser un no singular $n \times n$ matriz con todos los valores propios reales y $$Tr(A^2)=Tr(A^3)=Tr(A^4).$$ Encuentra $Tr(A)$ .

Consideré $2 \times 2$ matriz $ \begin {bmatrix}a&b \\c &d \end {bmatrix}$ e intentó computar rastros de $A^2,A^3,A^4$ y terminó con el seguimiento

1. $Tr(A^2)=Tr(A)^2-2 \det (A)$
2. $Tr(A^3)=Tr(A)^3-3Tr(A) \det (A)$
3. $Tr(A^4)=Tr(A)^4-4Tr(A)^2 \det (A)+2 \det (A)$

No tengo ni idea de cómo proceder a partir de aquí...

Answer 1

Un enfoque ligeramente diferente: tenemos $ \operatorname {trace}((A-A^2)^2)=0$ . Como $A$ tiene un espectro real, así que $A-A^2$ . Así que, la condición de rastro previo implica que $A-A^2$ es nilpotente. Por lo tanto, cada valor propio de $A$ es igual a su cuadrado. Como $A$ es no singular, cada valor propio de $A$ debe ser igual a $1$ . De ahí el rastro de $A$ es $n$ .

Answer 2

Denotemos los valores propios por $t_j$ . Luego, por Cauchy-Schwarz $$ \sum t_j^3 \le \left ( \sum t_j^2 \sum t_j^4 \right )^{1/2} , $$ que es igual a $ \sum t_j^3$ por suposición. La igualdad en el CSI significa que los vectores son linealmente dependientes, por lo que $t_j=ct_j^2$ . Esto dice que sólo hay un valor propio ( $=1/c$ ), y claramente debe ser $1$ entonces. Así que $ \textrm {tr}\, A=n$ .